Déterminant de Fredholm

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, le déterminant de Fredholm est une généralisation de la notion de déterminant à certains opérateurs à noyaux (continus) dans des espaces de Banach. Aux notations et langage près, l'idée a été introduite par Fredholm dans son étude de certaines équations intégrales. Elle a ensuite était généralisée à d'autres opérateurs, notamment aux opérateurs nucléaires (en) .

Soit $I=[a;b]$ un segment de $\mathbb {R}$. Dans la suite, ${\mathcal {B}}$ désigne l'espace $C(I)$ des fonctions continues sur $I$ ou l'espace $L^{p}(I)$ des fonctions p-intégrables sur $I$.

Soit $k:[a;b]\times [a;b]\to \mathbb {C}$ une fonction continue. On considère $K:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}$ l'opérateur de noyau $k$ :

$$\forall x\in {\mathcal {B}},\,\forall t\in [a;b],\,Kx(t)=\int _{a}^{b}k(t,s)x(s)\,ds$$

Heuristique

On se place sur $[0;1]$ et s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue $\phi$

$$\phi (x)+\int _{0}^{1}K(x,t)\phi (t)\,dt=f(x)\quad (*).$$

On peut essayer de discrétiser cette équation :

• en l'évaluant sur une famille de points $(x_{l})_{0\leq l\leq n-1}$ équirépartis dans l'intervalle $[0;1]$ : $x_{k}={\frac {k}{n}},~1\leq l\leq n-1$.
• en approchant l'intégrale par une somme de Riemann : $\int _{0}^{1}k(x_{i},t)\phi (t)\,dt\approx \sum _{j=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}k(x_{i},x_{j})\phi (x_{j})$.

On obtient alors, pour chaque $n\in \mathbb {N}$, un système linéaire $(E_{n})$ d'équations

$$(E_{n}):\left\{{\begin{array}{c@{=}c}\phi (x_{1})+{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_{1},x_{j})\phi (x_{j})=f(x_{1})\\\ldots &\\\phi (x_{i})+{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_{i},x_{j})\phi (x_{j})=f(x_{i})\\\ldots &\\\phi (x_{n})+{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}k(x_{n},x_{j})\phi (x_{j})=f(x_{n})\\\end{array}}\right.$$

où les inconnues sont les $(\phi (x_{l}))_{0\leq l\leq n-1}$. Heuristiquement on peut espérer comprendre $(*)$ en analysant le comportement de $(E_{n})$ dans la limite $n\to +\infty$.

Or on montre que le déterminant $d_{n}$ du système linéaire homogène associé à $(E_{n})$ vaut :

$${\begin{aligned}d_{n}&={\begin{vmatrix}1+{\frac {1}{n}}k(x_{1},x_{1})&{\frac {1}{n}}k(x_{1},x_{2})&\ldots &{\frac {1}{n}}k(x_{1},x_{n})\\{\frac {1}{n}}k(x_{2},x_{1})&1+{\frac {1}{n}}k(x_{2},x_{2})&\ldots &{\frac {1}{n}}k(x_{i},x_{n})\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\frac {1}{n}}k(x_{n},x_{1})&\ldots &\ldots &1+{\frac {1}{n}}k(x_{n},x_{n})\\\end{vmatrix}}\\&=1+{\frac {1}{n}}S_{1}+{\frac {1}{n^{2}}}S_{2}+\ldots +{\frac {1}{n^{n}}}S_{n}\end{aligned}}$$

où $S_{m}$ est la somme des mineurs principaux d'ordre $m$ de $d_{n}$. Comme de plus

$${\frac {1}{n^{m}}}S_{m}~{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}~{\frac {1}{m!}}\int _{[0;1]^{m}}^{}{\begin{vmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{m})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{m},x_{1})&\ldots &k(x_{m},x_{m})\\\end{vmatrix}}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{m}$$

on est donc amené à considérer la série "limite des $d_{n}$ " :

$$D:=1+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k!}}\int _{[0;1]^{k}}{\begin{vmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{m})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{m},x_{1})&\ldots &k(x_{m},x_{m})\\\end{vmatrix}}\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{m}$$

C'est la définition de Fredholm du déterminant de l'opérateur $I+K$. Bien que Fredholm, dans son article de 1903, ne précise pas vraiment comment il en est venu à cette définition, on peut supposer que c'est essentiellement cette heuristique qui l'y a conduit.

Déterminant de Fredholm

La série entière $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\int _{I^{n}}\det {\begin{pmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{n},x_{1})&\ldots &k(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}dx_{1}...dx_{n}$ a un rayon de convergence infini. Cela peut se démontrer en utilisant l'inégalité d'Hadamard (en) pour majorer le déterminant.

Pour tout $z\in \mathbb {C}$, on appelle déterminant de Fredholm de l'opérateur $I+zK$ la quantité

$$\det(I+zK):=1+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\int _{I^{n}}\det {\begin{pmatrix}k(x_{1},x_{1})&\ldots &k(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\k(x_{n},x_{1})&\ldots &k(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}dx_{1}...dx_{n}$$

La fonction $z\mapsto \det(I+zK)$ est alors analytique sur $\mathbb {C}$. En particulier, ses zéros sont isolés et de multiplicités finies.

Cas des opérateurs de rang fini

Dans cette section, on suppose que $K$est de rang fini.

Lien avec les valeurs propres

Soient $\lambda _{1}(K),\ldots ,\lambda _{n}(K)$ les valeurs propres de $K$ comptées avec multiplicités. On a alors la formule du produit :

$$\det(1+K)=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda _{i}(K)).$$

Lien avec la trace

Comme $K$ et ses puissances sont de rang fini, ce sont des opérateurs à trace.

Soit $z\in \mathbb {C}$. Pour $|z|$ assez petit, on a :

$$\det(1+zK)=\exp \left(\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}tr(K^{n})z^{n}\right)$$

Déterminant et inversibilité

Théorème (Fredholm) — Soit $z_{0}\in \mathbb {C}$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. L'opérateur $I+z_{0}K$ est inversible;
2. $\det(I+z_{0}K)\neq 0$.

De plus, lorsque $\det(I+z_{0}K)=0$, on a :

1. $\mathrm {dim~ker} (I+z_{0}K)=n_{0}$;
2. $\mathrm {dim~coker} (I+z_{0}K)=n_{0}$;

où $n_{0}$ est la multiplicité de $z_{0}$comme zéro de $z\mapsto \det(I+zK)$.

Remarques :

• La situation est donc tout à fait analogue à ce qui se passe en dimension finie;

• Pour tout $z_{0}\in \mathbb {C}$, l'indice de l'opérateur $I+z_{0}K$ est donc nul.