Conjecture de Singmaster

La conjecture de Singmaster, nommée ainsi en l'honneur de David Singmaster, affirme qu'il y a un majorant fini des multiplicités des termes du triangle de Pascal (autres que 1 qui apparaît un nombre infini de fois), à savoir le nombre de fois où un terme apparaît dans le triangle. Paul Erdős a dit que la conjecture de Singmaster était probablement vraie mais qu'elle serait très difficile à démontrer.

Conjecture et résultats connus[modifier | modifier le code]

Il est clair que le seul nombre qui apparaît une infinité de fois dans le triangle de Pascal est 1 car tout autre nombre x ne peut apparaître que dans les x + 1 premières lignes du triangle.

Soit N(a) le nombre de fois où le nombre a > 1 apparaît dans le triangle de Pascal. En notation « grand O de », la conjecture affirme que :

N(a)=O(1).

Singmaster a montré^[1] que

N(a)=O(\log a).

Abbot, Erdős, et Hanson^[2] affinèrent l'estimation. La meilleure limite actuelle, due à Daniel Kane^[3], est

N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}}\right).

Singmaster a montré^[4] que l'équation diophantienne

{m \choose j-1}={m-1 \choose j}

a une infinité de solutions (m, j). Il s'ensuit qu'il y a une infinité de termes de multiplicité au moins 6. Les solutions sont données par^[5]

m=F_{2\ell }F_{2\ell +1}\quad {\rm {et}}\quad j=F_{2\ell -1}F_{2\ell },

où ℓ ≥ 2 et F_n est le n-ième nombre de Fibonacci (indicé selon la convention suivante : F₁ = F₂ = 1).

Exemples numériques[modifier | modifier le code]

2 apparaît une seule fois ; tout nombre plus grand apparaît plus d'une fois.
4, ainsi que tout nombre premier différent de 2, apparaît 2 fois.
6 apparaît 3 fois.
Beaucoup de nombres apparaissent 4 fois.
On ne sait pas s'il existe des nombres apparaissant 5 fois.
Les sept nombres suivants apparaissent 6 fois :

{120 \choose 1}={16 \choose 2}={10 \choose 3},

{210 \choose 1}={21 \choose 2}={10 \choose 4},

{1540 \choose 1}={56 \choose 2}={22 \choose 3},

{7140 \choose 1}={120 \choose 2}={36 \choose 3},

{11628 \choose 1}={153 \choose 2}={19 \choose 5},

{24310 \choose 1}={221 \choose 2}={17 \choose 8},

{61218182743304701891431482520 \choose 1}={104 \choose 39}={103 \choose 40},

qui correspond à ℓ = 3 dans la suite de Singmaster.

Parmi les autres nombres apparaissant au moins 7 fois, le plus petit est le précédent dans la suite de Singmaster (ℓ = 2). Il apparaît 8 fois : ${3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}.$ On ne sait pas s'il existe d'autres nombres apparaissant au moins 7 fois.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Singmaster's conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) D. Singmaster, « Research Problems: How often does an integer occur as a binomial coefficient? », Amer. Math. Monthly, vol. 78, n^o 4,‎ 1971, p. 385–386.
↑ (en) H. L. Abbott, Paul Erdős et D. Hanson, « On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient », Amer. Math. Monthly, vol. 81, n^o 3,‎ 1974, p. 256–261 (DOI 10.2307/2319526).
↑ (en) Daniel M. Kane, « Improved bounds on the number of ways of expressing t as a binomial coefficient », Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, vol. 7,‎ 2007, #A53 (lire en ligne).
↑ (en) D. Singmaster, « Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers », Fibonacci Quarterly, vol. 13, n^o 4,‎ 1975, p. 295-298 (lire en ligne).
↑ Voir (en) Eric W. Weisstein, « Pascal's Triangle », sur MathWorld et suite A003015 de l'OEIS.

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bruno Martin — « Une conjecture sur le triangle de Pascal » — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) D. Singmaster, « Research Problems: How often does an integer occur as a binomial coefficient? », Amer. Math. Monthly, vol. 78, n^o 4,‎ 1971, p. 385–386.

[2] (en) H. L. Abbott, Paul Erdős et D. Hanson, « On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient », Amer. Math. Monthly, vol. 81, n^o 3,‎ 1974, p. 256–261 (DOI 10.2307/2319526).

[3] (en) Daniel M. Kane, « Improved bounds on the number of ways of expressing t as a binomial coefficient », Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, vol. 7,‎ 2007, #A53 (lire en ligne).

[4] (en) D. Singmaster, « Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers », Fibonacci Quarterly, vol. 13, n^o 4,‎ 1975, p. 295-298 (lire en ligne).

[5] Voir (en) Eric W. Weisstein, « Pascal's Triangle », sur MathWorld et suite A003015 de l'OEIS.

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