Conjecture de Bieberbach

La conjecture de Bieberbach était une conjecture mathématique, c'est maintenant un théorème que l'on peut formuler comme suit: toute fonction entière $f$ injective sur le disque unité et s'écrivant :

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}}

a des coefficients satisfaisant l'inégalité :

|a_{n}|\leq n|a_{1}|.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Cette conjecture, énoncée en 1916, a été démontrée par Louis de Branges de Bourcia en 1985.

On définit habituellement la classe S des fonctions $f$ injectives sur le disque unité telles que $a_{0}=0$ et $a_{1}=1$ . Ces fonctions sont dites schlicht. La conjecture de Bieberbach s'énonce alors sous la forme $|a_{n}|\leq n$ .

Le cas particulier n = 2 a été démontré par Ludwig Bieberbach. Ce résultat est lié au théorème de l'aire, et implique le théorème du quart de Koebe : pour toute fonction de S, l'image du disque unité contient le disque de centre 0 et de rayon 1/4.

Avant la démonstration générale de la conjecture de Bieberbach, on connaissait plusieurs cas particuliers, et l'inégalité de Littlewood