Catégorie des groupes
En mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes.
Définition[modifier | modifier le code]
La catégorie des groupes[modifier | modifier le code]
La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante :
- Ses objets sont les groupes ;
- Les morphismes sont les morphismes de groupes, munis de la composition usuelle de fonctions, l'identité étant l'application identité[1].
La 2-catégorie des groupes[modifier | modifier le code]
En théorie des catégories supérieures il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même. On dispose alors d'une nouvelle définition : la 2-catégorie des groupes Grp est la sous-2-catégorie pleine de la catégorie des groupoïdes formée ainsi :
- Les objets sont les groupoïdes à un objet ;
- Les 1-morphismes sont les foncteurs entre de tels objets. Ils correspondent exactement aux morphismes de groupes au sens usuel.
- Les 2-morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Ils sont définis par les automorphismes intérieurs. Si f et g sont deux foncteurs (morphismes de groupes) d'un groupe G vers un groupe H, il existe a élément de H tel que, pour tout x élément de G, .
La catégorie des groupes sur une catégorie[modifier | modifier le code]
Si K est une catégorie quelconque, on définit la catégorie GrpK des groupes sur K ainsi :
- Les objets sont les objets groupes (en) dans K, c'est-à-dire les objets G tels que, pour tout objet X, il existe une structure de groupe sur telle que est un foncteur contravariant ;
- Les morphismes sont les homomorphismes entre objets groupes.
Dans ce cadre, la catégorie des groupes topologiques s'identifie à la catégorie des groupes sur Top, la catégorie des groupes de Lie à la catégorie des groupes sur la catégorie des variétés lisses et la catégorie des faisceaux de groupes sur un espace X s'identifie à la catégorie des groupes sur la catégorie des faisceaux d'ensembles sur X.
Groupes, monoïdes et ensembles[modifier | modifier le code]
Tout groupe est en particulier un monoïde, on dispose donc naturellement d'un foncteur d'oubli :
Ce foncteur apparaît dans un triplet d'adjonction où :
- K est le foncteur qui envoie un monoïde sur son groupe de Grothendieck ;
- I est le foncteur qui envoie un monoïde sur le sous-monoïde de ses éléments inversibles.
On peut encore « oublier » la structure de monoïde, pour ne plus voir finalement que les éléments d'un groupe comme formant un ensemble. Cela correspond à un foncteur d'oubli
auquel est naturellement adjoint le foncteur libre F, c'est-à-dire le foncteur qui à un ensemble associe le monoïde librement engendré par ses éléments. On a
En effectuant ces deux opérations d'oubli, on a donc un foncteur d'oubli
dans la catégorie des ensembles. qui est adjoint à droite du foncteur libre
Propriétés[modifier | modifier le code]
Propriétés catégoriques[modifier | modifier le code]
- Grp est une catégorie concrète ;
- Grp est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ;
- Grp est complète et cocomplète ;
- Grp n'est pas une catégorie additive, ni abélienne ;
Objets[modifier | modifier le code]
- L'objet initial, final et zéro de Grp est le groupe trivial 1 ;
- Les objets projectifs de Grp sont les groupes libres ;
- L'objet injectif (en) de Grp est le groupe trivial ;
Morphismes[modifier | modifier le code]
- Les monomorphismes sont les morphismes de groupes injectifs ;
- Les épimorphismes sont les morphismes de groupe surjectifs ;
- Les isomorphismes sont les morphismes de groupe bijectifs ;
Limites[modifier | modifier le code]
- Le produit dans Grp est le produit direct de groupes ;
- Le coproduit dans Grp est le produit libre de groupes ;
- Le noyau dans Grp correspond au noyau au sens algébrique.
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
- Michel Demazure et Alexander Grothendieck, Schémas en groupes I, Springer, coll. « Lect. Notes in Math. », , p. 151-153
- On trouvera une construction plus détaillée de la catégorie des groupes dans Saunders Mac Lane, Algèbre, Jacques Gabay, p. 129
