Bicommutant

En algèbre, le bicommutant d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée $X'$, son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : $X''$.

Propriétés

Les propriétés galoisiennes du commutant entraînent que :

• le bicommutant est un opérateur de clôture, i.e.
  • $X\subset X''$
  • $X\subset Y\Rightarrow X''\subset Y''$
  • $(X'')''=X''~$
• $X'''=X'~$, cette dernière égalité (qui entraîne la précédente) venant de

$X\subset X''\Rightarrow (X'')'\subset X'$ et de $X'\subset (X')''$.

On a ainsi, par récurrence, les relations suivantes :

$X\subset X''=X''''=X''''''=\ldots =X^{2n}=\ldots$

$X'=X'''=X'''''=\ldots =X^{2n-1}=\ldots$

pour tout entier n ≥ 1.

Voir aussi

• Théorème du bicommutant de von Neumann
• Centralisateur