Algèbre dendriforme

En mathématiques, une algèbre dendriforme est un module A sur un anneau commutatif R muni de deux opérations bilinéaires $\prec$ et $\succ$, appelées respectivement opération gauche et opération droite, satisfaisant les relations suivantes

$(a\prec b)\prec c=a\prec (b\prec c)+a\prec (b\succ c)\,$

$(a\succ b)\prec c=a\succ (b\prec c)\,$

$(a\prec b)\succ c+(a\succ b)\succ c=a\succ (b\succ c)\,$

On remarque que le produit

$a*b:=a\prec b+a\succ b\,$

est associatif. Donc A est une algèbre associative (sans unité) dont le produit a été dichotomisé. L'algèbre dendriforme libre sur un module V, notée Dend(V), peut être décrite en termes d'arbres binaires planaires enracinés, d'où le qualificatif dendriforme, de la racine grecque dend-.

Ce type d'algèbres, découvert par Jean-Louis Loday en 1995, est en relation avec de nombreux autres types comme les algèbres associatives (voir ci-dessus), les algèbres pré-Lie (en), les algèbres de Leibniz, les algèbres de Zinbiel. Par exemple, l'opération $\{a,b\}:=a\prec b-b\succ a$ est une opération pré-Lie (son associateur est symétrique en les deux dernières variables). Si les opérations gauche et droite satisfont à la relation de symétrie $a\prec b=b\succ a$, alors on a une algèbre de Zinbiel.

Références

• (en) Jean-Louis Loday, « Algèbres ayant deux opérations associatives (digèbres) », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., vol. 321, n^o 2,‎ 1995, p. 141--146
• (en) Jean-Louis Loday, « Dialgebras », Springer Lecture Notes in Maths, vol. 1763,‎ 2001, p. 7-66