Критическая область

Проверки статистических гипотез - класс базовых задач в математической статистике.

Статистические гипотезы

Определения

Пусть дана выборка $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)$ из неизвестного совместного распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$. Тогда любое утверждение, касающееся природы $\mathbb{P}^{\mathbf{X}},$ называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$, то есть $H:\;\{\mathbb{P}^{\mathbf{X}} = \mathbb{P}_0\}$, где $\mathbb{P}_0$ какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ к некоторому семейству распределений, то есть вида $H:\;\{\mathbb{P}^{\mathbf{X}} \in \mathcal{P}\}$, где $\mathcal{P}$ - семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу H₀. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза H₁, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Пример

Пусть дана независимая выборка $(X_1,\ldots,X_n) \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ из нормального распределения, где μ — неизвестный параметр. Тогда $H_0:\;\{\mu = \mu_0\}$, где μ₀ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней $H_1:\;\{\mu > \mu_0\}$ — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы H₀ и конкурирующей гипотезы H₁. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.
2. Задание вероятности α, называемой уровнем значимости и отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы.
3. Расчёт статистики φ критерия такой, что:
   • её величина зависит от исходной выборки $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n): \; \phi=\phi(X_1,\ldots,X_n)$;
   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы H₀;
   • сама статистика φ должна подчиняться какому-то известному закону распределения, т.к. сама φ является случайной в силу случайности $\mathbf{X}$.
4. Построение критической области. Из области значений φ выделяется подмножество $\mathbb{C}$ таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство $P(\phi\in\mathbb{C})=\alpha$. Это множество $\mathbb{C}$ и называется критической областью.
5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику φ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область $\mathbb{C}$ выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H₀.

Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами $(-\infty,\;x_{\alpha/2})\cup(x_{1-\alpha/2}\;+\infty)$, где $x_{\alpha/2},\; x_{1-\alpha/2}$ находят из условий $P(\phi<x_{\alpha/2})=\frac{\alpha}{2}, \quad P(\phi<x_{1-\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}$.
• Левосторонняя критическая область определяется интервалом $(-\infty,\; x_\alpha)$, где x_α находят из условия P(φ < x_α) = α.
• Правосторонняя критическая область определяется интервалом $(x_\alpha,\;+\infty)$, где x_α находят из условия P(φ > x_α) = α.

Ссылки

• Ошибки первого и второго рода
• Статистический критерий
• Уровень значимости

См. также

Статистические критерии: Ниже для помощи в навигации приведён список статистических критериев. (список далеко не полный и не все из перечисленных статей существуют на данный момент; вы можете помочь проекту, создав статью из списка или добавив новую)

F-критерий | Q-критерий Розенбаума | t-критерий Стьюдента | U-критерий Манна-Уитни | Z-критерий | Критерий Бартлетта | Критерий Колмогорова | Критерий Кохрена | Критерий отношения правдоподобия | Критерий Пирсона | Критерий Уилкоксона | Критерий Фридмана