Кристоффеля символ


Кристоффеля символ

Символы Кристоффеля являются координатными выражениями аффинной связности, в частности связности Леви-Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (18291900),

Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации.

Символы Кристоффеля появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Содержание

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода \Gamma^{k}_{ij} можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов \partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i} по базису:

\nabla_{\partial_j}\partial_i = \Gamma^{k}_{ij}\partial_k

Символы Кристоффеля первого рода \Gamma^{}_{n,ij}

\Gamma_{n,ij}=g_{kn}\Gamma^{k}_{ij}=\tfrac12\left(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\right)

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивита для карты xi могут быть определены из отсутствия кручения, то есть

Γijk = Γikj.

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора g_{ik}\ равна нулю:

\nabla_\ell g_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}=0.\

Для сокращения записи символ набла \nabla и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая ", " в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

\,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell} = 0. \

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

\Gamma^i {}_{k\ell}=
\frac{1}{2}g^{im} 
\left(
\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} 
\right) 
= 
{1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), \

где g^{ij}\  — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к g_{ij}\ , находится путём решения системы линейных уравнений g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k\ .

Связь с безындексными обозначениями

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами X^i\ и Y^k\ . Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i \nabla_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k {}_{im} Y^m\right).\

Условие отсутствия кручения у связности, :\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]\ , эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

Γijk = Γikj.

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных (x^1,...,x^n)\ на (y^1,...,y^n)\ , базисные векторы преобразуются ковариантно,

\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}\

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

\overline{\Gamma^k {}_{ij}} =
\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\,
\frac{\partial x^q}{\partial y^j}\,
\Gamma^r {}_{pq}\,
\frac{\partial y^k}{\partial x^r}
+ 
\frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, 
\frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j}  
\

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) Hβ, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

\Gamma_{\beta\beta,\gamma}=-{H_\beta}{H_\gamma}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}, при \beta\neq\gamma.
\Gamma_{\beta\gamma,\beta}={H_\beta}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}.

Символы Кристоффеля второго рода:

\Gamma^\gamma_{\beta\beta}=-\frac{H_\beta}{H_\gamma}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}, при \beta\neq\gamma.
\Gamma^\beta_{\beta\gamma}=\Gamma^\beta_{\gamma\beta}=\frac{1}{H_\beta}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}

Ниже приведены значения для распространённых систем координат:

См. также

Другие величины, широко используемые в тензорном анализе

Литература

  • Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7
  • Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Кристоффеля символ" в других словарях:

  • Кристоффеля символ —         дифференциальной квадратичной формы                   символ для сокращённого обозначения выражения                  Символ                  где gkt определяется из равенств                   К. с. введён Э. Кристоффелем (См …   Большая советская энциклопедия

  • КРИСТОФФЕЛЯ СИМВОЛ — дифференциальной квадратичной формы символ для сокращенного обозначения выражения Символ наз. К. с. 1 го рода, в отличие от К. с. 2 го рода определяемого соотношением где определяется из равенств К. с. введен Э. Кристоффелем (Е. Christoffel,… …   Математическая энциклопедия

  • Символ Леви-Чивиты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви Чивиты. Обозначается . Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов… …   Википедия

  • Символ Кристоффеля — …   Википедия

  • Символы Кристоффеля — являются координатными выражениями аффинной связности, в частности связности Леви Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829 1900), Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких… …   Википедия

  • Тензорное исчисление —         математическая теория, изучающая величины особого рода тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления (См. Векторное исчисление) и теории матриц (См. Матрица). Т. и. широко… …   Большая советская энциклопедия

  • Кристоффель Эльвин Бруно — Кристоффель (Christoffel) Эльвин Бруно (10.11.1829, Моншау, 15.3.1900, Страсбург), немецкий математик. С 1862 профессор Политехникума в Цюрихе, с 1872 профессор Страсбургского университета. Известен работами в области теории функций, теории… …   Большая советская энциклопедия

  • Кристоффель — (Christoffel)         Эльвин Бруно (10.11.1829, Моншау, 15.3.1900, Страсбург), немецкий математик. С 1862 профессор Политехникума в Цюрихе, с 1872 профессор Страсбургского университета. Известен работами в области теории функций, теории… …   Большая советская энциклопедия

  • Абсолютно кососимметричный объект — Символ Леви Чивиты математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви Чивиты. Обозначается (нередко эпсилон пишется в ином начертании: ). Здесь приведён символ для трёхмерного… …   Википедия

  • Абсолютно антисимметричный единичный тензор — Символ Леви Чивиты математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви Чивиты. Обозначается (нередко эпсилон пишется в ином начертании: ). Здесь приведён символ для трёхмерного… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.