Конечно аддитивная мера


Конечно аддитивная мера

Ме́ра — общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n-мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.

Содержание

Определения

Конечно-аддитивная мера

Пусть задано пространство X с выделенным классом подмножеств \mathcal{F}, замкнутым относительно конечных пересечений и объединений.

Функция \mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty] называется конечно-аддитивной мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \mu(\varnothing)=0.
  2. Если \{E_n\}_{n=1}^N\subset\mathcal{F} — конечное семейство попарно непересекающихся множеств из \mathcal{F}, то есть E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j, то
\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^N E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^N\mu(E_n).

Альтернативное определение

Система множеств σ называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к σ множества A и A_1\subset A вытекает возможность представления множества A в виде объединения A=\bigcup_{k=1}^n A_k, где Ak — попарно непересекающиеся множества из σ, первое из которых есть заданное множество A1.

Функция множества μ(A) называется мерой, если:

  • область определения σμ функции μ(A) есть полукольцо множеств;
  • значения \mu(A)\geqslant 0;
  • μ(A) — аддитивна, то есть для любого конечного разложения A=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n, A_i\cap A_j=\varnothing будет выполнено \mu(A)=\sum_{k=1}^n\mu(A_k).

Счётно-аддитивная мера

Пусть задано пространство X с выделенной σ-алгеброй \mathcal{F}.

Функция \mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty] называется счётно-аддитивной (или σ-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \mu(\varnothing)=0.
  2. (σ-аддитивность) Если \{E_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{F} — счётное семейство попарно непересекающихся множеств из \mathcal{F}, то есть E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j, то
\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n).

Замечания

  • Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
  • Если мера всего пространства конечна, то есть \mu(X)<\infty, то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.
  • На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с σ-алгебры, порождаемой открытыми множествами, на множество всех подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры. Ни для одного из нетривиальных евклидовых пространств не существует какого-либо счётно-аддитивного расширения лебеговой меры на множество всех его подмножеств.

Связанные определения

Примеры

Вариации и обобщения

Литература

  • Вулих, Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Конечно аддитивная мера" в других словарях:

  • Конечно-аддитивная мера — Мера  общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно аддитивная мера. Содержание 1 Определения 1.1 Конечно …   Википедия

  • Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества  неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… …   Википедия

  • Мера Лебега — на   мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году. Содержание 1 Построение меры на прямой 1.1 …   Википедия

  • МЕРА — множества, обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в… …   Математическая энциклопедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ МЕРА — 1) Ц. м. в теории меры в топологических векторных пространствах конечно аддитивная мера определенная на алгебре цилиндрических множеств в топологическом векторном пространстве Е, т. о. множеств вида где борелевская s алгебра подмножеств… …   Математическая энциклопедия

  • Жорданова мера — Мера Жордана  один из способов формализации понятия длины, площади и n мерного обьёма в n мерном евклидовом пространстве. Содержание 1 Построение 2 Свойства 3 История …   Википедия

  • ЖОРДАНА МЕРА — параллелепипеда в Rn объем этого параллелепипеда. Для ограниченного множества определяются: внешняя мера Жордана и внутренняя мера Жордана где Dj попарно не пересекаются (здесь Dj параллелепипеды вида (*J). Множество Еназ. измеримым по Жордану… …   Математическая энциклопедия

  • ПРЕДМЕРА — конечно аддитивная мера с действительными или комплексными значениями на нек ром пространстве W, обладающая свойством: она определена на алгебре подмножеств W, к рая имеет вид , где семейство s алгебр пространства W, помеченных элементами нек… …   Математическая энциклопедия

  • Пространство с мерой — Мера  общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно аддитивная мера. Содержание 1 Определения 1.1 Конечно …   Википедия

  • Заряд (теория меры) — У этого термина существуют и другие значения, см. Заряд. Заряд  вещественнозначная конечно аддитивная функция множества, определённая на некоторой алгебре, (например, борелевских подмножеств). В отличие от обычной меры, под которой обычно… …   Википедия


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.