Конечная разность

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Определение

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции f(x):

$f(x_0) = y_0, \ldots, f(x_n)=y_n,$

где $x_k = x_0 + hk, \, h=\mathrm{const}$.

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями f в узлах интерполяции, то есть

$\Delta y_k=y_{k+1}-y_k = f(x_{k+1}) - f(x_k), \, k=0..n-1$.

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

$\Delta^2y_k= \Delta y_{k+1} - \Delta y_k = f(x_{k+2}) - 2 f(x_{k+1}) + f(x_{k}), \, k=0..n-2$.

Конечной разностью порядка m (для $m \leq n$) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка m - 1, то есть

$\Delta^my_k= \Delta^{m-1}y_{k+1} - \Delta^{m-1}y_k, \, k=0..n-m$.

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

С конечными разностями связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Другие обозначения

Часто также используется другое обозначение: $\Delta^m_h (f, x)$ — конечная разность порядка m от функции f c шагом h, взятая в точке x. Например, $\Delta^1_h (f, x) = f(x+h) - f(x)$.

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

См. также

• Метод конечных разностей
• Интерполяционные формулы Ньютона
• Разделенная разность