Комплексный анализ (исторический очерк)

Ко́мпле́ксный ана́лиз^[1][2] или тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного (ко́мпле́ксной переме́нной) (ТФКП) — часть математического анализа, в которой рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Общие понятия

Для начала отметим, что каждая комплексная функция w = f(z) = f(x + iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: f(z) = u(x,y) + iv(x,y), определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u, v называются компонентами комплексной функции f(z).

Понятие предела функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если $\lim_{z \to a+bi}f(z) = A+Bi$, то $\lim_{x \to a, y \to b}u(x,y) = A$ и $\lim_{x \to a, y \to b}v(x,y) = B$, и обратно.

Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.

Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин на больше-меньше. Например, нет аналога теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.

Дифференцирование

Определение

Производная для комплексной функции одного аргумента w = f(z) определяется так же, как и для вещественной:

$f^\prime(z) = \frac{dw}{dz} = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\,$.

(здесь h — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

$f(z+h)-f(z) = \frac{df}{dz} \cdot h + o(h)$

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к z с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент u,v и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}; \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,$

Другими словами, гладкость u и v не гарантирует дифференцируемости самой функции.

Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична в этой окрестности.
• Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0; \qquad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0\,$

• Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши-Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида u + iv, где u,v — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.

Геометрический смысл

Каждая комплексная функция w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) определяет некоторое отображение комплексной плоскости (x,y) на другую комплексную плоскость с координатами u,v. При этом выражение:

$\left |\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\right |$

при малом h геометрически можно истолковать как коэффициент растяжения, которое выполняет данное отображение при переходе от точки z к точке z + h. Тогда существование предела этого выражения, то есть модуля производной, означает, что коэффициент растяжения одинаков в любом направлении от точки z.

Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку z. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике^[3].

Интегрирование

Понятие первообразной комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла в интервале от a до b на комплексной плоскости не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл, зависящий от конкретного пути.

Пусть уравнение $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$ определяет некоторую кусочно-гладкую кривую γ в комплексной плоскости, а функция $~f(z)$ определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на n равных частей: $a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$ и рассмотрим интегральную сумму:

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} f(z(t_k)) ( z(t_k) - z(t_{k-1}) )$

Предел этой суммы при неограниченном возрастании n называется (комплексным) интегралом по кривой γ от данной функции f(z); он обозначается:

$\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz$

Для любой функции f(z), непрерывной вдоль γ, этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

$\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz=\int\limits_a^b\!f(z(t))z'(t)\,dt=\int\limits_\gamma\! u\,dx - v\,dy + i\int\limits_\gamma\!v\,dx + u\,dy$

Здесь u,v — компоненты f(z).

Если кривая γ образует замкнутый контур (то есть конечная точка пути совпадает с начальной), употребляется особое обозначение интеграла:

$\oint\limits_\gamma\!f(z)\,dz$

Имеет место важная интегральная теорема Коши: для любой функции f(z), аналитической в односвязной области $A\subset\mathbb C$ и для любой замкнутой кривой $\gamma\subset A$ справедливо соотношение $\oint\limits_\gamma\!f(z)\,dz=0$. Другие мощные инструменты для вычисления комплексных и вещественных интегралов:

• Интегральная формула Коши
• Основная теорема о вычетах

Приложения в вещественном анализе

С помощью теории вычетов, являющейся частью ТФКП, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам.

Средствами комплексного анализа объясняются некоторые моменты, не поддающиеся простой интерпретации в терминах вещественного анализа. Приведем классический пример: функция

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой. Рассмотрим её ряд Тейлора

$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\dots$

Этот ряд сходится только в интервале ( − 1;1), хотя точки $\ \pm 1$ не являются какими-то особенными для f(x).

Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного $f(z)=\frac{1}{1+z^2}$, у которой обнаруживаются две особые точки: $\pm i$. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге $\Delta=\left\{z\colon|z|<1\right\}$.

История

Фундаментальные работы в комплексном анализе связаны с именами Римана, Коши, Вейерштрасса и многих других известных математиков. Теория конформных отображений стала бурно развиваться благодаря имеющимся примененениям в инженерном деле, также методы и результаты комплексного анализа применяются в аналитической теории чисел. Новый всплеск интереса к комплексному анализу связан с комплексной динамикой и теорией фракталов.

См. также

• Аналитическая функция
• Голоморфная функция
• Комплексные числа
• Кватернионный анализ
• Многомерный комплексный анализ

Примечания

1. ↑ Школьная энциклопедия «Математика». Издательство «Большая Российская энциклопедия». 1996 год. Гл. ред. С.М. Никольский.
2. ↑ «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина указывает ударение компле́ксный, ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ
3. ↑ О применении конформных отображений в гидродинамике см.: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.

Литература

• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд.. — М.: Наука, 1972.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II, глава XII, §5. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.

Разделы математики

Теория множеств | Арифметика | Геометрия | Математический анализ | Дифференциальные уравнения | Алгебра | Теория чисел | Дискретная математика | Комплексный анализ | Функциональный анализ | Дифференциальные геометрия и топология | Топология | Математическая логика | Теория категорий | Линейная алгебра | Теория вероятностей | Математическая статистика