Квантовое туннелирование

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение ... Математическая формулировка ... Основа Классическая механика · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Волновая функция · Суперпозиция · Запутанность · Измерение · Неопределённость · Запрет Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннелирование Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга ·Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Картина Шрёдингера · Картина Гейзенберга · Картина взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака Интерпретации Копенгагенская интерпретация · Теория скрытых параметров · Многомировая Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг· Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

Туннельный эффект, туннелирование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике; аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д.

Отражение и туннелирование электронного пучка, направленного на потенциальный барьер. Слабое пятно справа от барьера - электроны, прошедшие сквозь барьер. Обратите внимание на интерференцию между падающими и отражающимися волнами.

Краткое квантовомеханическое описание

Согласно классической механике, частица может находиться лишь в тех точках пространства, в которых ее потенциальная энергия меньше полной. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы $~{E_{\rm{kin}}}={\frac{p^2}{2m}}={E}-{U_{\rm{pot}}}$ не может (в классич. физике) быть отрицательной, т.к. в таком случае импульс будет мнимой величиной. То есть если две области пространства разделены потенциальным барьером, таким, что $~{U_{\rm{pot}}}>{E}$, просачивание частицы сквозь него в рамках классической теории оказывается невозможным. В квантовой же механике мнимое значение импульса лишь соответствует экспоненциальной зависимости волновой функции от координаты. Это видно из уравнения Шредингера с постоянным потенциалом (для простоты возьмем одномерный случай):

$~{\frac{{{\rm{d}}^2}{\psi}}{{{\rm{d}}{x}}^2}}+{\frac{2m}{{\hbar}^2}}{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}{\psi}=0$

($~x~-$ координата; $~E~-$ полная энергия, $~U_{\rm{pot}}~-$ потенциальная энергия, $~{\hbar~-}$ редуцированная постоянная Планка, $~m~-$ масса частицы), решением которого является функция

$~{\psi}=A \exp{ \left( ix{\frac{\sqrt{2m{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}}}{\hbar}} \right)}+B \exp{ \left( -ix{\frac{\sqrt{2m{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}}}{\hbar}} \right)}$

Пусть имеется движущаяся частица, на пути которой встречается потенциальный барьер высотой $~U_0$, а потенциал частицы до и после прохождения равен нулю.

Для областей $~I$ (до прохождения), $~II$ (во время прохождения внутри потенциального барьера) и $~III$ (после прохождения барьера) (начало барьера совпадает с началом координат; его "ширина" равна $~a$) получаем соответственно функции

$~{{\psi}_{I}}={A_1} \exp{ \left( ikx \right) }+{B_1} \exp{ \left( -ikx \right) }$

$~{{\psi}_{II}}={A_2} \exp{ \left( -{\chi}x \right) }+{B_2} \exp{ \left( {\chi}x \right)}$

$~{{\psi}_{III}}={A_3} \exp{ \left( ik(x-a) \right) }+{B_3} \exp{ \left( -ik(x-a) \right) }$

Так как слагаемое $~{B_3} \exp{-ik(x-a)}$ характеризует отраженную волну, идущую из бесконечности, которая в данном случае отсутствует, нужно положить $~{B_3}=0$. Для характеристики величины туннельного эффекта введем коэффициент прозрачности барьера, равный модулю отношения плотности потока прошедших частиц к плотности потока упавших:

$~D={\frac{{\mathcal{j}}{j_{III}}{\mathcal{j}}}{{\mathcal{j}}{j_{I}}{\mathcal{j}}}}$

Для определения потока частиц воспользуемся формулой

$~{j}={\frac{i{\hbar}e}{2m}}{ \left( {\frac{{\partial}{{\psi}^*}}{{\partial}x}}{\psi}-{\frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}x}}{{\psi}^*} \right)}$

где знак звездочки обозначает комплексное сопряжение.

Подставляя в эту формулу волновые функции, указанные выше, получим

$~{D}={\frac{{{\mathcal{j}}{A_3}{\mathcal{j}}}^2}{{{\mathcal{j}}{A_1}{\mathcal{j}}}^2}}$

Теперь, воспользовавшись граничными условиями, выразим сначала $~A_2$ и $~B_2$ через $~A_3$ (с учетом, что $~{\chi}a~{\gg}~1$:

$~{A_2}={\frac{1-in}{2}}{A_3}{\exp{ \left( {\chi}a \right) }}~,~~~~~~{B_2}={\frac{1+in}{2}}{A_3}{\exp{ \left( -{\chi}a \right) }}~{\approx}~0$

$~n={\frac{\chi}{a}}={\sqrt{\frac{E}{{U_0}-E}}}$

а затем $~A_1$ через $~A_3$:

$~{A_1}={\frac{{ \left( 1-in \right) }{ \left( 1+{\frac{i}{n}} \right) }}{4}}{\exp{ \left( {\chi}a \right) }}{A_3}$

Введем величину

$~{D_0}={\frac{16{n^2}}{{ \left( 1+{n^2} \right) }^2}}$

которая будет порядка единицы. Тогда:

$~D~{\cong}~{D_0}{\exp{ \left( -{\frac{2a{\sqrt{2m{ \left( {U_0}-E \right) }}}}{\hbar}} \right) }}$

Для потенциального барьера произвольной формы делаем замену

$~{\frac{2a{\sqrt{2m{ \left( {U_0}-E \right) }}}}{\hbar}}~{\Rrightarrow}~{\frac{2}{\hbar}}{\int\limits_{x_1}^{x_2} {{\sqrt{2m{ \left( {U(x)}-E \right) }}}}\, {\rm{d}}x}$

где $~x_1$ и $~x_2$ находятся из условия

$~{U(x_1)}={U(x_2)}=E$

Тогда для коэффициента прохождения через барьер получаем выражение

$~D~{\cong}~{D_0}{\exp{ \left( -{\frac{2}{\hbar}}{\int\limits_{x_1}^{x_2} {{\sqrt{2m{ \left( {U(x)}-E \right) }}}}\, {\rm{d}}x} \right) }}$

Упрощённое объяснение

Туннельный эффект можно объяснить соотношением неопределённостей.^[1] Записанное в виде:

$\Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$,

оно показывает, что при ограничении квантовой частицы по координате, т.е. увеличении её определённости по x, её импульс p становится менее определённым. Случайным образом неопределённость импульса Δp может добавить частице энергии для преодоления барьера. Таким образом, с некоторой вероятностью квантовая частица может проникнуть через барьер, а средняя энергия частицы останется неизменной.

Макроскопические проявления туннельного эффекта

Туннельный диод и джампер.

Туннельный эффект имеет ряд проявлений в макроскопических системах:

• Туннелирование носителей зарядов через потенциальный барьер p-n перехода, получившее практическое применение в туннельном диоде.
• Туннелирование носителей зарядов через тонкую оксидную пленку, имеющую диэлектрические свойства, покрывающую ряд металлов (в частности, алюминия) и обеспечивающее проводимость точек механического соединения проводников (скрутки проводов, зажимы, джамперы). Применительно к сверхпроводникам это явление получило название эффект Джозефсона.

См. также

• Квантовая механика
• Корпускулярно-волновой дуализм
• Туннельный диод
• Эффект Джозефсона
• Твёрдое тело
• Бета-распад
• Альфа-распад
• К-захват

История и исследователи

В 1928 Георгий Гамов разработал теорию альфа-распада, основанную на туннельном эффекте. Автоэлектронная эмиссия из металла в вакуум (туннелирование электрона сквозь поверхностный барьер) описывается законом Фаулера — Нордгейма, также выведенном в 1928 г.

Примечания

1. ↑ Статья "Туннельный эффект" в БСЭ, 2 абзац

Ссылки

• Туннельная эмиссия
• Туннельный эффект, БСЭ на slovari.yandex.ru (2009-06-05). Проверено 2009-06-05.

Литература

1. Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 4 изд., М., 1963;
2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).