Квантовое туннелирование


Квантовое туннелирование
Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение ...

Математическая формулировка ...


Туннельный эффект, туннелирование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике; аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д.

Отражение и туннелирование электронного пучка, направленного на потенциальный барьер. Слабое пятно справа от барьера - электроны, прошедшие сквозь барьер. Обратите внимание на интерференцию между падающими и отражающимися волнами.

Содержание

Краткое квантовомеханическое описание

Согласно классической механике, частица может находиться лишь в тех точках пространства, в которых ее потенциальная энергия меньше полной. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы ~{E_{\rm{kin}}}={\frac{p^2}{2m}}={E}-{U_{\rm{pot}}} не может (в классич. физике) быть отрицательной, т.к. в таком случае импульс будет мнимой величиной. То есть если две области пространства разделены потенциальным барьером, таким, что ~{U_{\rm{pot}}}>{E}, просачивание частицы сквозь него в рамках классической теории оказывается невозможным. В квантовой же механике мнимое значение импульса лишь соответствует экспоненциальной зависимости волновой функции от координаты. Это видно из уравнения Шредингера с постоянным потенциалом (для простоты возьмем одномерный случай):

~{\frac{{{\rm{d}}^2}{\psi}}{{{\rm{d}}{x}}^2}}+{\frac{2m}{{\hbar}^2}}{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}{\psi}=0

(~x~- координата; ~E~- полная энергия, ~U_{\rm{pot}}~- потенциальная энергия, ~{\hbar~-} редуцированная постоянная Планка, ~m~- масса частицы), решением которого является функция

~{\psi}=A \exp{ \left( ix{\frac{\sqrt{2m{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}}}{\hbar}} \right)}+B \exp{ \left( -ix{\frac{\sqrt{2m{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}}}{\hbar}} \right)}

Пусть имеется движущаяся частица, на пути которой встречается потенциальный барьер высотой ~U_0, а потенциал частицы до и после прохождения равен нулю.

Для областей ~I (до прохождения), ~II (во время прохождения внутри потенциального барьера) и ~III (после прохождения барьера) (начало барьера совпадает с началом координат; его "ширина" равна ~a) получаем соответственно функции

~{{\psi}_{I}}={A_1} \exp{ \left( ikx \right) }+{B_1} \exp{ \left( -ikx \right) }

~{{\psi}_{II}}={A_2} \exp{ \left( -{\chi}x \right) }+{B_2} \exp{ \left( {\chi}x \right)}

~{{\psi}_{III}}={A_3} \exp{ \left( ik(x-a) \right) }+{B_3} \exp{ \left( -ik(x-a) \right) }

Так как слагаемое ~{B_3} \exp{-ik(x-a)} характеризует отраженную волну, идущую из бесконечности, которая в данном случае отсутствует, нужно положить ~{B_3}=0. Для характеристики величины туннельного эффекта введем коэффициент прозрачности барьера, равный модулю отношения плотности потока прошедших частиц к плотности потока упавших:

~D={\frac{{\mathcal{j}}{j_{III}}{\mathcal{j}}}{{\mathcal{j}}{j_{I}}{\mathcal{j}}}}

Для определения потока частиц воспользуемся формулой

~{j}={\frac{i{\hbar}e}{2m}}{ \left( {\frac{{\partial}{{\psi}^*}}{{\partial}x}}{\psi}-{\frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}x}}{{\psi}^*} \right)}

где знак звездочки обозначает комплексное сопряжение.

Подставляя в эту формулу волновые функции, указанные выше, получим

~{D}={\frac{{{\mathcal{j}}{A_3}{\mathcal{j}}}^2}{{{\mathcal{j}}{A_1}{\mathcal{j}}}^2}}

Теперь, воспользовавшись граничными условиями, выразим сначала ~A_2 и ~B_2 через ~A_3 (с учетом, что ~{\chi}a~{\gg}~1:

~{A_2}={\frac{1-in}{2}}{A_3}{\exp{ \left( {\chi}a \right) }}~,~~~~~~{B_2}={\frac{1+in}{2}}{A_3}{\exp{ \left( -{\chi}a \right) }}~{\approx}~0

~n={\frac{\chi}{a}}={\sqrt{\frac{E}{{U_0}-E}}}

а затем ~A_1 через ~A_3:

~{A_1}={\frac{{ \left( 1-in \right) }{ \left( 1+{\frac{i}{n}} \right) }}{4}}{\exp{ \left( {\chi}a \right) }}{A_3}

Введем величину

~{D_0}={\frac{16{n^2}}{{ \left( 1+{n^2} \right) }^2}}

которая будет порядка единицы. Тогда:

~D~{\cong}~{D_0}{\exp{ \left( -{\frac{2a{\sqrt{2m{ \left( {U_0}-E \right) }}}}{\hbar}} \right) }}

Для потенциального барьера произвольной формы делаем замену

~{\frac{2a{\sqrt{2m{ \left( {U_0}-E \right) }}}}{\hbar}}~{\Rrightarrow}~{\frac{2}{\hbar}}{\int\limits_{x_1}^{x_2} {{\sqrt{2m{ \left( {U(x)}-E \right) }}}}\, {\rm{d}}x}

где ~x_1 и ~x_2 находятся из условия

~{U(x_1)}={U(x_2)}=E

Тогда для коэффициента прохождения через барьер получаем выражение

~D~{\cong}~{D_0}{\exp{ \left( -{\frac{2}{\hbar}}{\int\limits_{x_1}^{x_2} {{\sqrt{2m{ \left( {U(x)}-E \right) }}}}\, {\rm{d}}x} \right) }}

Упрощённое объяснение

Туннельный эффект можно объяснить соотношением неопределённостей.[1] Записанное в виде:

 \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} ,

оно показывает, что при ограничении квантовой частицы по координате, т.е. увеличении её определённости по x, её импульс p становится менее определённым. Случайным образом неопределённость импульса Δp может добавить частице энергии для преодоления барьера. Таким образом, с некоторой вероятностью квантовая частица может проникнуть через барьер, а средняя энергия частицы останется неизменной.

Макроскопические проявления туннельного эффекта

Туннельный эффект имеет ряд проявлений в макроскопических системах:

См. также

История и исследователи

В 1928 Георгий Гамов разработал теорию альфа-распада, основанную на туннельном эффекте. Автоэлектронная эмиссия из металла в вакуум (туннелирование электрона сквозь поверхностный барьер) описывается законом Фаулера — Нордгейма, также выведенном в 1928 г.

Примечания

Ссылки

Литература

  1. Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 4 изд., М., 1963;
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Квантовое туннелирование" в других словарях:

  • туннелирование — Термин туннелирование Термин на английском tunneling Синонимы Аббревиатуры Связанные термины криохимия, эффект Джозефсона Определение Проявление туннельного эффекта, когда частица, первоначально локализованная по одну сторону потенциального… …   Энциклопедический словарь нанотехнологий

  • Квантовое запутывание — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ — совокупность явлений, в к рых характерные особенности квантовой механики непосредственно проявляются в поведении макроскопич. объектов. В большинстве случаев поведение макроскопических (содержащих большое число атомов) тел с высокой точностью… …   Физическая энциклопедия

  • МАГНИТНЫЙ ПРОБОЙ — (см. ПРОБОЙ МАГНИТНЫЙ). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983. МАГНИТНЫЙ ПРОБОЙ …   Физическая энциклопедия

  • СЛАБАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ — совокупность явлений, происходящихв слабосвязанных сверхпроводящих системах (неоднородных сверхпроводящихструктурах), содержащих узкие (в направлении протекания тока) области либообласти, у к рых сверхпроводимость отсутствует или сильно подавлена …   Физическая энциклопедия

  • АКТИВИРОВАННОГО КОМПЛЕКСА ТЕОРИЯ — (теория переходного состояния, теория абс. скоростей р ций), простейший и исторически первый вариант статистич. теории хим. р ций. Разработана Э. Вигнером, М. Поляни, Г. Эйрингом, М. Эвансом в 30 х гг. 20 в. Позволяет приближенно рассчитывать… …   Химическая энциклопедия

  • Энергия активации — Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей …   Википедия

  • Гипердрайв — Гипердрайв  (от фр. hyper  сверх, и англ. drive  двигатель), или гипер двигатель  термин из научно популярной фантастики, обычно означающий высокотехнологическое устройство в космическом корабле, предназначенное для… …   Википедия

  • Квантовый провод — В физике конденсированного состояния квантовый провод это электропроводящий провод, в котором квантовые эффекты оказывают влияние на явления переноса. Из за квантовых ограничений на электроны проводимости в поперечном направлении провода, их… …   Википедия

  • Квантовая технология — область физики и разработки, в которой используются специфические особенности квантовой механики, прежде всего квантовая запутанность. Цель квантовой технологии состоит в том, чтобы создать полезные устройства, основанные на квантовых принципах,… …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.