Нерешённые проблемы математики

Нерешённые пробле́мы (или Открытые проблемы) — проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учеными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются: Проблемы Гильберта, Проблемы Ландау, Проблемы тысячелетия. Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большинство из проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

Теория чисел

Гипотезы о простых числах

• Сильная проблема Гольдбаха. Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
• Слабая проблема Гольдбаха. Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел (доказана для всех достаточно больших нечётных чисел).
• Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.
• Гипотеза Лежандра (англ.). Для любого натурального n между n² и (n + 1)² найдется хотя бы одно простое число.
• Гипотеза Брокарда (англ.). Для любого натурального n между (p_n)² и (p_n+1)² (где p_n - это n-ое простое число) найдется хотя бы четыре простых числа.
• Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из следующих последовательностей^[1]:

Последовательность	Название
2n - 1	числа Мерсенна
n2 + 1	4-я проблема Ландау
$n \cdot 2^n + 1$	числа Каллена
$2^{2^n} + 1$	числа Ферма
Fn	числа Фибоначчи
пары (n, n+2)	простые близнецы
пары (n, 2n+1)	простые числа Софи Жермен

Гипотезы о совершенных числах

• Не существует нечётных совершенных чисел.
• Количество совершенных чисел бесконечно.

Гипотезы о дружественных числах

• Не существует взаимно простых дружественных чисел.
• Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.

Другие проблемы

• Существование слегка избыточных чисел.
• Существование параллелепипеда с тремя целочисленными рёбрами и четырьмя целочисленными диагоналями.
• Существуют ли попарно различные натуральные числа a, b, c, d такие, что a⁵ + b⁵ = c⁵ + d⁵?^[2]
• Гипотеза Биля. За ее доказательство (или опровержение) установлен приз в 100000 долларов.
• Гипотеза Эрдёша^{[убрать шаблон]}. Если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинную арифметическую прогрессию.
• Гипотеза 3n+1 (англ.).
• Гипотеза жонглёра (англ.). Любая последовательность жонглёра достигает 1.^[3] Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой

$a_{k+1}= \begin{cases} \left \lfloor a_k^{\frac{1}{2}} \right \rfloor, & \text{if}\ a_k\ \text{is even} \\ \\ \left \lfloor a_k^{\frac{3}{2}} \right \rfloor, & \text{if}\ a_k\ \text{is odd} \end{cases}$

• Проблема Брокарда (англ.). Имеет ли уравнение n! + 1 = m² решения в натуральных числах, кроме (4,5), (5,11) и (7,71)? ^[4]
• Значения чисел ван дер Вардена. На данный момент известны значения только 6 первых чисел: 1, 3, 9, 35, 178, 1132 (последовательность A005346 в OEIS).^[5]
• Для каких n вопрос о наличии решений у произвольного диофантового уравнения с n переменными является алгоритмически неразрешимым?^[6]
• Busy Beaver (англ.). Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с n состояниями и алфавитом {0,1} на заполненной нулями ленте для n > 4? Известно, что нет алгоритма, который может решить этот вопрос для всех n, однако, для любого n существует алгоритм, который может решить этот вопрос для всех чисел, меньших n.^[7]
• Значения чисел Рамсея (англ.) R(r,s). Точно известны только несколько первых чисел. Для других чисел известны некоторые оценки: например, $43\leq R(5,5)\leq 49$.

r,s	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	1	3	6	9	14	18	23	28	36	[40,43]
4	1	4	9	18	25	[35,41]	[49,61]	[56,84]	[73,115]	[92,149]
5	1	5	14	25	[43,49]	[58,87]	[80,143]	[101,216]	[125,316]	[143,442]
6	1	6	18	[35.41]	[58,87]	[102,165]	[113,298]	[127,495]	[169,780]	[179,1171]
7	1	7	23	[49,61]	[80,143]	[113,298]	[205,540]	[216,1031]	[233,1713]	[289,2826]
8	1	8	28	[56,84]	[101,216]	[127,495]	[216,1031]	[282,1870]	[317,3583]	≤ 6090
9	1	9	36	[73,115]	[125,316]	[169,780]	[233,1713]	[317,3583]	[565,6588]	[580,12677]
10	1	10	[40,43]	[92,149]	[143,442]	[179,1171]	[289,2826]	≤ 6090	[580,12677]	[798,23556]

Геометрия

• В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
• Имеются два треугольника A, B со сторонами длиной a₁,a₂,a₃ и b₁,b₂,b₃ соответственно (длины сторон являются рациональными числами). Необходимо определить, можно ли разместить треугольник A внутри треугольника B. Является ли эта задача алгоритмически разрешимой?
• На любой ли замкнутой кривой на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?^[8]
• Существует ли такая константа A, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь A, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?^[9]
• Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?^[10]
• Найдется ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?^[11]
• Задача о 9 кругах. Не существует 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов. (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
• У любого выпуклого многогранника существует развертка без самопересечений. ^[12]
• Даны положительные действительные числа $S_0, \dots, S_n.$ Существует ли многогранник, площади граней которого равны этим числам? Какой наибольший и наименьший объем он может иметь?
• Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней? ^[13]
• Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью n > 4? Эта задача решена лишь для n = 8 (240) и n = 24 (196560). ^[14][15]
• Чему равно хроматическое число n-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости (en:Hadwiger–Nelson problem); другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет.
• Задача Томсона. Как разместить n одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для n = 2, 3, 4, 6 и 12).^[16] Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из n точек?
• Как разместить n точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?^[17]
• Чему равна площадь множества Мандельброта? Существует оценка 1,50659177 ± 0,00000008.^[18]
• Задача плотнейшей упаковки шаров в n-мерном евклидовом пространстве для n > 3. Для 3-мерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера (англ.) справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки.^[19]
• Вычисление числа Ньютона (количества шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве) в общем случае.
• Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса R?^[20]

Алгебра

• Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы H существуют поля F и G, такие, что G является расширением F и Gal(G/F) изоморфна H.
• Любая конечнопредставленная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно.^[21]

Анализ

• Гипотеза Римана. Все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой Re(z)=½.
• Постоянная Эйлера-Маскерони — иррациональна.
• Постоянная Каталана (англ.) - иррациональна.
• Иррациональна ли константа Бруна? Указать верхнюю границу для константы Бруна.
• Чему равна константа Миллса (англ.)? Иррациональна ли она? Существующие методы вычисления опираются на еще недоказанную гипотезу Римана.
• Значения дзета-функции Римана ζ(2n + 1) трансцендентны для всех натуральных n.
• Мнимая часть любого нетривиального нуля дзета-функции Римана - иррациональна.
• Значения гамма-функции Γ(1 / n) трансцендентны для всех целых n > 1.
• Постоянные Фейгенбаума (англ.) - трансцендентны.
• Числа π и e - алгебраически независимы; числа π + e, π − e, π * e, π / e, π^e, π^π, e^e — трансцендентны.
• До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как π и e; неизвестно даже, какие из цифр 0-9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.
• Неизвестно, является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным.
• Бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными членами - трансцендентна.
• Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина (англ.), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать чиcла π, Постоянная Эйлера-Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
• Постоянная Хинчина - иррациональна.
• Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю (en:Constant problem). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?
• Решение уравнений Эйнштейна для столкновения ультрарелятивистских вращающихся чёрных дыр.

Комбинаторика

• Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
• Существование конечной проективной плоскости любого натурального порядка.
• Неизвестно количество незамкнутых маршрутов коня.
• Неизвестно минимальное количество изначально заполненных клеток в игре судоку, при котором существует единственное решение.

Теория графов

• Гипотеза Каццетты-Хаггвиста - ориентированный граф, имеющий n вершин, из каждой вершины которого выходит не менее m ребер, имеет замкнутый контур длиной не более $\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil$.
• Гипотеза Хадвигера - каждый n-хроматический граф стягиваем к полному графу К_n.
• Гипотеза Улама — а)всякий граф с более чем двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа. б) всякий граф с более чем тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа. (Иными словами, не существует таких двух различных графов для которых бы эти наборы или множества совпадали).
• Гипотеза Харари - если граф имеет более 3 ребер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра. Более слабая форма гипотезы Улама.
• Любой кубический граф имеет простой цикл длины 2ⁿ
• В любом графе можно выбрать множество простых циклов, такое, что каждое ребро принадлежит ровно двум из них.
• В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов, так, что каждое ребро принадлежит ровно двум из них.

Аксиоматическая теория множеств

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешенным.

Вычислительная математика

• Определить предельный уровень аппроксимации n-стадийного метода Рунге-Кутты (1-стадийный = метод Эйлера = O(h), 2-стадийный = модифицированный метод Эйлера = O(h²), 4-стадийный = классический метод Рунге-Кутты = O(h⁴), 5-стадийный = метод Фельберга = тоже O(h⁴)).

Известные проблемы, недавно решённые

• Проблема четырёх красок
• Великая теорема Ферма
• Гипотеза Пуанкаре

См. также

• Проблемы тысячелетия
• Проблемы Гильберта
• Список важнейших научных проблем

Примечания

1. ↑ Integer Sequence Primes
2. ↑ [1]
3. ↑ последовательность A007320 в OEIS, последовательность A094716 в OEIS
4. ↑ Weisstein, Eric W. Проблема Брокарда на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
5. ↑ Weisstein, Eric W. Число ван дер Вардена на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
6. ↑ Open Questions: Number Theory
7. ↑ последовательность A028444 в OEIS
8. ↑ [2]
9. ↑ [3]
10. ↑ [4]
11. ↑ [5]
12. ↑ Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
13. ↑ Удивительные объемы многогранников
14. ↑ Контактное число
15. ↑ Weisstein, Eric W. Контактное число на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
16. ↑ Задача Томсона
17. ↑ [6]
18. ↑ http://www.mrob.com/pub/muency/pixelcounting.html
19. ↑ Weisstein, Eric W. Гипотеза Кеплера на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
20. ↑ Packing Equal Circles on a Sphere
21. ↑ R. Grigorchuk, I. Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners на arXiv

Ссылки

• Open Problem Garden(англ.)
• Open Questions: Mathematics(англ.)
• The Open Problems Project(англ.)
• Открытые математические проблемы в Google Directory(англ.)
• Видеоклипы о нерешённых математических проблемах