Псевдосфера

Псевдосфера

Псевдосфе́ра (поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

История

Впервые исследована Миндингом в 1839 — 1840 гг. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с моделью Пуaнкаре и моделью Клейна.

Характеристики

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

x = a · sin u,

y = 0,

z = a · (ln tg(u/2) + cos u),

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

x = a · sin u · cos v,

y = a · sin u · sin v,

z = a · (ln tg(u/2) + cos u).

Первая квадратичная форма:

$ds^2=a^2\operatorname{ctg}^2u \,du^2+a^2\sin^2u \,dv^2$

Вторая квадратичная форма:

$\phi _2 = a(-\operatorname{ctg} u\, du^2+\sin u\cos u \,dv^2)$

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/a².

Источники

• http://www.pm298.ru/spec28.shtml
• Большая советская энциклопедия

Литература

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, Москва, 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
• Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, Москва, 1982.