Исправленная выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия в математической статистике - это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую или исправленную выборочные дисперсии.

Определения

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ - выборка из распределения вероятности. Тогда

• Выборочная дисперсия - это случайная величина

$S^2_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2$,

где символ $\bar{X}$ обозначает выборочное среднее.

• Несмещённая (исправленная) дисперсия - это случайная величина

$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2$.

Замечание

Очевидно,

$S^2 = \frac{n}{n-1} S^2_n$.

Свойства выборочных дисперсий

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть $\hat{F}(x)$ - выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\omega \in \Omega$ функция $\hat{F}(\omega,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна $S^2_n(\omega)$.

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если $\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty$, то

$S_n^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2$

и

$S^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2$,

где $\to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}$ обозначает сходимость по вероятности.

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённая:

$\mathbb{E}\left[S^2_n\right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$,

и

$\mathbb{E}\left[S^2\right] = \sigma^2$.

• Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть $X_i \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2),\; i=1,2,\ldots$. Тогда

$(n-1) \frac{S^2}{\sigma^2} \equiv n \frac{S^2_n}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$.

Оценки СКО

$s=\sqrt{x}$

Смотрите также

• Дисперсия случайной величины;
• Выборочное среднее;

• Дисперсия Аллана;
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.