Интерполяционные ряды

Интерполяцио́нные ряды́ вошли в математику в основном благодаря Ньютону. Первые их примеры — бесконечный интерполяционный ряд Ньютона и ряд Тейлора. В XVIII в. бесконечными интерполяционными рядами как инструментом математического анализа широко пользовались Эйлер, Лагранж и Лаплас, в XIX в. — Гаусс, Абель и Коши. В конце XIX в. обобщение задач интерполирования послужило одним из источников проблемы моментов в работах Чебышева, Стилтьеса и Маркова.

Построение интерполяционного ряда, или интерполяционный процесс, определяется последовательностью линейных непрерывных функционалов ${\Phi_i}~ (i=0,1,2,\ldots)$ в линейном топологическом пространстве. При этом имеется также такая последовательность функций $\textstyle {\varphi_j}~ (j=0,1,2,\ldots)$, что

$\Phi_i[\varphi_j] = \delta_{ij},$

где $\textstyle \delta_{ij}$ — символ Кронекера ($\textstyle \delta_{ij} = 1$, если $\textstyle i = j$; иначе $\textstyle \delta_{ij} = 0$). Последовательность $\textstyle {\varphi_j(x)}$ называется базисом фундаментальных полиномов интерполяционного процесса. Интерполяционным рядом функции $\textstyle f(x)$ называется формальное выражение

$\sum_{i=k}^\infty\Phi_k[f]\varphi_k(x) .$

Если этот ряд сходится, то его сумма $\textstyle S(x)$ удовлетворяет равенствам

$\textstyle \Phi_k[S(x)] = \Phi_k[f(x)]$

при $k=0,1,2,\ldots$ независимо от того, равна сумма $\textstyle S(x)$ исходной функции $\textstyle f(x)$ или нет. Совокупность этих равенств выражает обобщение обычной задачи интерполирования функции по её значениям в последовательности точек.

Литература

• Евграфов М. А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова. М.: Гостехиздат, 1954.
• Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. М.: Физматлит, 1961.
• Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971.
• Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.
• Головинский И. А. Из истории интерполяционных рядов. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXII, 1977, с. 65-81.
• Головинский И. А. Интерполяционные ряды Лапласа. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXIV, 1979, с. 104—120.