Импликативная решетка

В математике решётка называется импликативной, если для каждых двух элементов a и b существует псевдодополнение a относительно b ($a \to b$), определяемое так:

$a \to b = \max\{c: a \cdot c \leqslant b\}$.

Аксиоматически импликативная решётка получается из обычной присоединением двух аксиом:

$a \cdot (a \to b) \leqslant b,\quad a \cdot c \leqslant b \Rightarrow c \leqslant (a \to b)$.

Частным случаем импликативных решёток являются псевдобулевы алгебры. Сами импликативные решётки являются частным случаем полугруппы с делением, в которой левому и правому делению $a \backslash b$ и b / a соответствует одна операция $a \to b$.

Свойства

• Во всякой импликативной решётке имеется максимальный элемент ($a \to a$), обычно обозначаемый как 1.
• Всякая импликативная решётка дистрибутивна.
• Для всех элементов a, b и c всякой импликативной решётки верны следующие утверждения:

1. $a \leqslant b \Rightarrow b \to c \leqslant a \to c$;
2. $a \leqslant b \Rightarrow c \to a \leqslant c \to b$;
3. $a \leqslant b \to c \Rightarrow a \cdot b \leqslant c$;
4. $a \to b = 1 \Leftrightarrow a \leqslant b$;
5. $b \leqslant a \to b$;
6. $a \to b \leqslant ((a \to (b \to c)) \to (a \to c))$;
7. $a \leqslant b \to a \cdot b$;
8. $a \to c \leqslant (b \to c) \to (a + b \to c)$.

Эти утверждения используются при доказательстве того, что псевдобулевы алгебры являются моделями интуиционистского исчисления высказываний.

• $\nabla$ является фильтром импликативной решётки тогда и только тогда, когда $1 \in \nabla$ и $(a \in \nabla, a \to b \in \nabla) \Rightarrow b \in \nabla$.
• Пусть A — импликативная решётка, $\nabla$ — фильтр, тогда факторрешётка $A / \nabla$ импликативна, а класс $\nabla$ будет максимальным элементом новой решётки.