Игра Ним

Ним — математическая игра, в которой два игрока по очереди берут предметы, разложенные на несколько кучек. За один ход может быть взято любое количество предметов (большее нуля) из одной кучки. Выигрывает игрок, взявший последний предмет.

В классическом варианте игры число кучек равняется трём.

Ним — конечная игра с полной информацией.

История игры

Игра ним попала в Европу в XVI веке из Китая. Имя «ним» было дано игре американским математиком Чарльзом Бутоном (англ. Chalres Bouton), описавшим в 1901 году выигрышную стратегию игры.

Существует несколько вариантов происхождения названия игры:

• от немецкого глагола Nimm или старо-английского глагола Nim, имеющих значение «брать»;
• от английского глагола WIN («побеждать»), переворачиванием слова;

Стратегия игры

В общем случае рассматривается p кучек предметов с $N_1, N_2, \cdots N_p$ предметами. Игроки ходят по очереди. Ход заключается в том, что игрок берёт из кучки $i \in [1, p]$ $n \in [1, N_i]$ предметов.

Каждой позиции игры ставится в соответствие ним-сумма этой позиции — результат сложения размеров всех кучек в двоичной системе счисления без учёта переноса разрядов, то есть сложение двоичных разрядов чисел в поле вычетов по модулю 2: $S=N_1 \oplus N_2 \oplus \cdots N_p$

Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы оставлять после своего хода позицию с ним-суммой, равной нулю. Она основана на том, что из любой позиции с ним-суммой, не равной нулю, можно одним ходом получить позицию с нулевой ним-суммой, а из позиции с нулевой ним-суммой любой ход ведёт в позицию с ним-суммой, отличной от нуля.

Варианты игры

Мизер

В этом варианте игрок, взявший последний объект, проигрывает.

Выигрышная стратегия совпадает с выигрышной стратегией обычной игры до того момента, когда в результате хода игрока на столе должно остаться некоторое количество кучек с единственным предметом в каждой из них. В случае мизера игрок должен оставить нечётное количество кучек, тогда как выигрышная стратегия обычной игры требует оставить чётное количество кучек, чтобы ним-сумма равнялась нулю.

Мультиним

Более общий случай игры ним был предложен Муром (Eliakim Moore). В игре Nim_i игрокам разрешается брать предметы из максимум i кучек. Легко видеть, что обычная игра ним является Nim₁.

Для выигрышной стратегии игры вводится ним-сумма позиции, определённая как результат сложения размеров всех кучек в системе счисления базы i + 1 без учёта переноса разрядов. В остальном стратегия остаётся прежней.

Ним в массовой культуре

Игра ним занимает важное место в сюжете фильма «В прошлом году в Мариенбаде». См. соответствующий фрагмент фильма.

См. также

• Функция Шпрага-Гранди
• Игра Баше
• Крестики-нолики

Литература

• Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения = Mathematical Recreations and Essays. — М.: Мир, 1986. — С. 474.
• Фомин С. В. Системы счисления. — 5-е изд. — М.: Наука, 1987. — С. 48.
• Гарднер М. Крестики-нолики.
• Jean-Paul Delahaye Stratégies magiques au pays de Nim // Pour la science : Журнал. — Paris: Belin, 2009. — Т. 377. — № 3. — С. 88-93.