Закон смещения Вина

Кривые потока излучения абсолютно чёрных тел с разной температурой. Наглядно можно увидеть, что возрастании температуры максимум излучения сдвигается в ультрафиолетовую часть спектра (в область коротких длин волн). Именно эту особенность и описывает закон Вина.

Зако́н смеще́ния Ви́на даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Общий вид закона смещения Вина

λ_max = b/T ≈ 0,002898 м·К × T ⁻¹ (K),

где T — температура, а λ_max — длина волны с максимальной интенсивностью. Коэффициент b, называемый постоянной Вина, в системе СИ имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света $\nu$ (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:

$\nu_\max = { \alpha \over h} kT \approx (5,879 \times 10^{10} \ \mathrm) \cdot T,$

где

α ≈ 2,821439… Гц/К — постоянная величина,

k — постоянная Больцмана,

h — постоянная Планка,

T — температура (в кельвинах).

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

$B(\lambda,T) = {2 h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}.$

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по $\lambda$ и приравнять дифференциал к нулю:

${ \partial B \over \partial \lambda } = \frac{2 h c}{\lambda^6} {1\over e^{h c/\lambda kT}-1} \left( {hc\over kT \lambda}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)} - 5 \right)=0$

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда $\lambda\rightarrow\infty$ или когда $e^{h c/\lambda kT}\rightarrow\infty$, что выполняется при $\lambda\rightarrow0$. Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка $B(\lambda)$, которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

${hc\over kT \lambda}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)} - 5 =0$

Используя замену переменных $x={hc\over kT \lambda}$, данное уравнение можно преобразовать к виду

${x e^x \over e^x - 1}-5=0.$

Численное решение этого уравнения даёт:^[1]

$x = 4.965114231744276\ldots$

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, как

$\lambda_\max = {hc\over x }{1\over kT} = {2.89776829\ldots \times 10^{-3}\over T},$

где температура дана в кельвинах, а $\lambda_{\max}$ — в метрах.

Примеры

Согласно закону смещения Вина человеческое тело с температурой 290 K (+17°C) имеет максимум теплового излучения на длине волны 10 μм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

История

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению.

См. также

• Абсолютно чёрное тело
• Закон излучения Планка
• Закон Стефана — Больцмана

Ссылки

• Мир физики Эрика Вейстейна

Источники и примечания

1. ↑ Решение уравнения ${x e^{x}\over e^{x} - 1} = n$ невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.

• B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision, " Am. J. Phys. 67 (11), 946—953 1999.
• M. A. Heald, «Where is the 'Wien peak'?», Am. J. Phys. 71 (12), 1322—1323 2003.