Закон взаимности Гаусса

Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.

Простейшим проявлением закона взаимности является следующий факт, известный ещё Ферма: Простыми делителями чисел x² + 1 могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии 4k + 1. Другими словами, сравнение

$x^2+1\equiv0\,\pmod{p}$

по простому модулю p > 2 разрешимо в том и только в том случае, когда $p \equiv 1\,\pmod4.$ С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:

$\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2$

В общем случае, вопрос о разрешимости сравнения

$x^2\equiv a\,\pmod{p}$

решается с помощью закона взаимности Гаусса:

$\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4$

где р и q — различные нечётные простые числа, а также двух дополнений к этому закону

$\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2$     и     $\left(\frac 2p\right)=(-1)^\frac{p^2-1}8.$

История

Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру и Лежандру, однако первое доказательство было получено только Гауссом, который впоследствии дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.

См. также

• Символ Лежандра
• Символ Якоби
• Символ Кронекера — Якоби