Задача оптимизации


Задача оптимизации

Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие \mathbb{R}^n и заданные набором равенств и неравенств.

Содержание

Постановка задачи оптимизации

Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

  1. Допустимое множество — множество \mathbb{X}=\{\vec{x}|\;g_i(\vec{x})\leq 0,\;i=1,\ldots,m\} \subset \mathbb{R}^n;
  2. Целевую функцию — отображение f:\;\mathbb{X}\to\mathbb{R};
  3. Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу f(x)\to \min_{\vec{x}\in\mathrm{X}} означает одно из:

  1. Показать, что \mathbb{X}=\varnothing.
  2. Показать, что целевая функция f(\vec{x}) не ограничена.
  3. Найти \vec{x}^*\in\mathbb{X}:\;f(\vec{x}^*)=\min_{\vec{x}\in\mathbb{X}}f(\vec{x}).
  4. Если \nexists \vec{x}^* , то найти \inf_{\vec{x}\in\mathbb{X}}f(\vec{x}).

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x0 таких, что всюду в некоторой их окрестности f(x)\ge f(x_0) для минимума и f(x)\le f(x_0) для максимума.

Если допустимое множество \mathbb{X}=\mathbb{R}^n, то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.

Классификация методов оптимизации

Методы, по средством которых решают задачи оптимизации, подразделяются на виды, соответствующие задачам, к которым они применяются:

  • Локальные методы (задача оптимизации унимодальной целевой функции).
  • Глобальные методы (имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.).

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

  1. детерминированные;
  2. случайные;
  3. комбинированные.

Некоторые детерминированные методы:

  • Задачи оптимизации, в которых целевая функция f(\vec{x}) и ограничения g_i(\vec{x}),\; i=1,\ldots,m являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами линейного программирования.
  • В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

Также они разделяются по критерию размерности допустимого множества на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

Литература

  1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. пец. вузов. — М.: Высшая школа, 1986.
  2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
  3. Коршунов Ю.М., Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
  4. Максимов Ю.А.,Филлиповская Е.А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
  5. Максимов Ю.А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980.
  6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
  7. Жиглявский А.А., Жилинкас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. — М.: Наука, Физматлит, 1991.
  8. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. — М.: 1968.
  9. Абакаров А.Ш., Сушков Ю.А. Статистическое исследование одного алгоритма глобальной оптимизации. — Труды ФОРА, 2004.

Ссылки

  • MDOP — Поиск глобального оптимума для задач оптимального проектирования систем или определения оптимальных законов управления.
  • Глобальная оптимизация, принятие решений — Программные системы поддержки принятия оптимальных решений. Глобальные алгоримы.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Задача оптимизации" в других словарях:

  • задача оптимизации надёжности — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN reliability optimization problem …   Справочник технического переводчика

  • Задача о порядке перемножения матриц — Задача о порядке перемножения матриц  классическая задача динамического программирования, в которой дана последовательность матриц и требуется минимизировать количество скалярных операций для вычисления их произведения. Матрицы… …   Википедия

  • Задача о рюкзаке — Задача о ранце (рюкзаке) одна из задач комбинаторной оптимизации. Название это получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов ограничен. Подобные… …   Википедия

  • Задача о рюказаке — Задача о ранце (рюкзаке) одна из задач комбинаторной оптимизации. Название это получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов ограничен. Подобные… …   Википедия

  • Задача о коммивояжере — Задача коммивояжёра (коммивояжёр  бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… …   Википедия

  • Задача о коммивояжёре — Задача коммивояжёра (коммивояжёр  бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… …   Википедия

  • Задача коммивояжера — Задача коммивояжёра (коммивояжёр  бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… …   Википедия

  • Задача коммивояжёра — Оптимальный маршрут коммивояжёра через 15 крупнейших городов Германии. Указанный маршрут является самым коротким из всех возможных 43 589 145 600. Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, TSP) (коммивояжёр …   Википедия

  • Задача о ранце — Пример задачи о ранце: необходимо разместить ящики в рюкзак при условии на вместимость рюкзака 15 кг, так чтобы суммарная полезность предметов в рюкзаке была максимальной. Задача о ранце (рюкзаке) (англ.  …   Википедия

  • Задача о максимальном потоке — Максимальный поток в транспортной сети. Числа обозначают потоки и пропускные способности. В теории оптимизации и теории графов, задача о максимальном потоке заключается в нахождении такого потока по транспортной сети, что сум …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Задача оптимизации» >>