Задача Аполония

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники.

Восемь различных решений задачи Аполлония

Задача решается с помощью применения двух операций: инверсии и перехода к концентрическим окружностям.

Примечание

В своем сочинении "Касания" Аполлоний имел в виду три окружности контактной геометрии, т.е. окружности с радиусом от 0 (точка) до бесконечности (прямая). Таким образом, для задачи Аполлония существует 10 глобальных случаев:

1. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех точек

Решение: Соединим эти точки. Проведем к получившимся отрезкам серединные перпендикуляры. Они пересекутся в одной точке. Эта точка - центр искомой окружности.

2. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и прямой (далее а) Проведем прямую ΑΒ. Решение: а) Если АВ не паралельна а, Найдем их пересечение С. Построим среднее геометрическое отрезков ΑС и ΒС. Отложим равный ему отрезок СΚ на прямой а. Окружность, описанная около ΔΑΒΚ - искомая.

б) Если ΑΒ||а, Проведем серединный перпендикуляр к отрезку ΑΒ и отметим точку его пересечения с окружностью Κ. Окружность, описанная около ΔΑΒΚ - искомая

3. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух прямых Решение:

а) Если прямые не параллельны, возьмем точку их пересечения. Назовем угол между этими прямыми α. Соединим точку пересечения прямых с заданой точкой Μ. Назовем получившийся отрезок а. Впишем в угол α произвольную окружность, которая пересечет а, и отметим ее центр Ο и точку пересечения с а (каждая даст свое решение) Α. Проведем прямую ΑΟ. Проведем паралельную ей прямую через Μ и биссектрису угла α. Их пересечение будет центром искомой окружности.

б) Если прямые параллельны, Построим прямую ΑΒ (Α и Β - точки пересечения с задаными прямыми), перпендикулярную им. Проведем к отрезку ΑΒ серединный перпендикуляр b. Проведем окружность с центром в заданой точке и радиусом, равным половине ΑΒ. Ее пересечение с b будет центром искомой окружности.

4. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех прямых Решение: а) Если среди них нет параллельных, Отметим точки их пересечения Α, Β и С. Окружность, вписанная в ΔΑΒС - искомая.

б) Если все три прямые параллельны друг другу, Окружности не существует.

5. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и окружности (далее ω)

а) Если А и В не лежат на ω, Проведем окружность Ω, содержащую точки А и В и имеющую с ω общие точки. Проведем радикальную ось Ω и ω и пересечем ее с АВ. Проведем из точки их пересечения касательную к ω и отметим точку касания Κ. Опишем окружность около ΔΑΒΚ. Она - искомая. Каждая касательная даст свое решение.

б) Если А и В лежат на ω, ω - искомая.

6. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух окружностей

7. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух прямых и окружности

8. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся прямой и двух окружностей

9. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки, прямой и окружности,

10. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех окружностей.