- Локальная топологическая группа
-
Локальная топологическая группа — топологическая группа, в которой групповые операции определены лишь для элементов, достаточно близких к единице. Введение локальных топологических групп было инспирировано изучением локальной структуры топологических групп (то есть их структуры в сколь угодно малой окрестности единицы).
Примером локальной топологической группы может служить любая окрестность единицы топологической группы . В теории локальных топологических групп принципиальным является вопрос о том, насколько общий характер имеет этот пример, то есть является ли всякая локальная топологическая группа локально изоморфной некоторой топологической группе. В общем случае ответ отрицателен, но в важном частном случае конечномерных локальных групп Ли — положителен.
Как и в теории топологических групп, в теории локальных топологических групп можно определить понятия (локальных) подгрупп, нормальных делителей, смежных классов, факторгрупп.
Определение
Пусть — топологическое пространство, — некоторый его элемент, и — некоторые открытые подмножества в и соответственно, и , — некоторые непрерывные отображения. Тогда система является локальной топологической группой, если выполнены условия:
- и для любого и ;
- если и , то ;
- и для любого и .
Обычно локальную топологическую группу обозначают просто через ; элемент обозначают через и называется произведением и ; элемент обозначают через и называется обратным к ; элемент е называется единицей локальной топологической группы . Если , то говорят, что произведение и определено; если , то говорят, что для определен обратный элемент.
Эти (определенные не для любых элементов) операции на индуцируют структуру локальной топологической группы на любой окрестности единицы в .
Связанные определения
Пусть и — две локальные топологические группы
Локальным гомоморфизмом в называется, такое непрерывное отображение некоторой окрестности единицы локальной топологической группы в некоторую окрестность единицы локальной топологической группы , что и для любых элементов , произведение которых в определено, произведение элементов и в также определено и . Два локальных гомоморфизма в называют эквивалентными, если они совпадают в некоторой окрестности единицы локальной топологической группы . Пусть локальный гомоморфизм является гомеоморфизмом окрестностей и , а обратное отображение является локальным гомоморфизмом в . Тогда h называется локальным изоморфизмом в . Две локальных топологических групп между которыми существует локальный изоморфизм, называются локально изоморфными. Например, любая локальная топологическая группа локально изоморфна любой своей окрестности единицы.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
- Викифицировать статью.
- Добавить иллюстрации.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.