Локальная топологическая группа

Локальная топологическая группа — топологическая группа, в которой групповые операции определены лишь для элементов, достаточно близких к единице. Введение локальных топологических групп было инспирировано изучением локальной структуры топологических групп (то есть их структуры в сколь угодно малой окрестности единицы).

Примером локальной топологической группы может служить любая окрестность единицы топологической группы . В теории локальных топологических групп принципиальным является вопрос о том, насколько общий характер имеет этот пример, то есть является ли всякая локальная топологическая группа локально изоморфной некоторой топологической группе. В общем случае ответ отрицателен, но в важном частном случае конечномерных локальных групп Ли — положителен.

Как и в теории топологических групп, в теории локальных топологических групп можно определить понятия (локальных) подгрупп, нормальных делителей, смежных классов, факторгрупп.

Определение

Пусть $G$ — топологическое пространство, $e$ — некоторый его элемент, $\Theta$ и $\Omega$ — некоторые открытые подмножества в $G$ и $G\times G$ соответственно, $e\in\Theta$ и $i : \Theta\to G$, $m:\Omega\to G$ — некоторые непрерывные отображения. Тогда система $(G, e, \Theta, \Omega, i, m)$ является локальной топологической группой, если выполнены условия:

1. $(e,g)$ и $(g,e)\in \Omega$ для любого $g\in G$ и $m(e, g) = m(g,e)=g$;
2. если $g,h,t\in G$ и $(g, h), (h, t), (m(g, h), t), (g, m(h, t))\in \Omega$, то $m(m(g, h), t) = m(g,m(h,t))$;
3. $(g, i(g))$ и $(i(g), g)\in \Omega$ для любого $g\in\Theta$ и $m(g, i(g)) = m(i(g), g) = e$.

Обычно локальную топологическую группу $(G, e, \Theta, \Omega, i, m)$ обозначают просто через $G$; элемент $m(g, h)$ обозначают через $gh$ и называется произведением $g$ и $h$; элемент $i(g)$ обозначают через $g^{-1}$ и называется обратным к $g$; элемент е называется единицей локальной топологической группы $G$. Если $(g, h)\in \Omega$, то говорят, что произведение $g$ и $h$ определено; если $g\in\Theta$, то говорят, что для $g$ определен обратный элемент.

Эти (определенные не для любых элементов) операции на $G$ индуцируют структуру локальной топологической группы на любой окрестности единицы $e$ в $G$.

Связанные определения

Пусть $G_1$ и $G_2$ — две локальные топологические группы

Локальным гомоморфизмом $G_1$ в $G_2$ называется, такое непрерывное отображение $h$ некоторой окрестности $U_1$ единицы $e_1$ локальной топологической группы $G_1$ в некоторую окрестность $U_2$ единицы $e_2$ локальной топологической группы $G_2$, что $h(e_1) = e_2$ и для любых элементов $g, h\in U_1$, произведение которых в $G_1$ определено, произведение элементов $f(g)$ и $f (h)$ в $G_2$ также определено и $f(gh) = f(g) f(h)$. Два локальных гомоморфизма $G_1$ в $G_2$ называют эквивалентными, если они совпадают в некоторой окрестности единицы локальной топологической группы $G_1$. Пусть локальный гомоморфизм $h$ является гомеоморфизмом окрестностей $U_1$ и $U_2$, а обратное отображение $U_2\to U_1$ является локальным гомоморфизмом $G_2$ в $G_1$. Тогда h называется локальным изоморфизмом $G_1$ в $G_2$. Две локальных топологических групп между которыми существует локальный изоморфизм, называются локально изоморфными. Например, любая локальная топологическая группа локально изоморфна любой своей окрестности единицы.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Викифицировать статью. Добавить иллюстрации.