Гамильтонова механика

Классическая механика

$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \vec{v})$ Второй закон Ньютона

История…

Фундаментальные понятия Пространство · Время · Масса · Сила Энергия · Импульс Формулировки Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Формализм Гамильтона — Якоби Разделы Прикладная механика Небесная механика Механика сплошных сред Геометрическая оптика Статистическая механика Учёные Галилей · Кеплер · Ньютон Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамильтон · Коши

См. также: Портал:Физика

Гамильто́нова меха́ника является переформулировкой классической механики. Была создана в 1833 Уильямом Гамильтоном. Она возникла из лагранжевой механики, другой формулировки классической механики, введённой Лагранжем в 1788. Гамильтонова механика может быть сформулирована без привлечения лагранжевой механики с использованием симплектических многообразий.

Несмотря на формальную эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой механики, последняя, помимо привнесённых ею полезных технических дополнений, сыграла существенную роль для более глубокого понимания как математической структуры классической механики, так и её физического смысла, включая связь с механикой квантовой (Гамильтон изначально хотел сформулировать классическую механику как коротковолновый предел некоторой волновой теории, что практически полностью соответствует современному взгляду).

Существует точка зрения, что формализм Гамильтона вообще более фундаментален и органичен, в том числе и в особенности для квантовой механики (Дирак), хотя эта точка зрения и не стала общепризнанной, в основном, видимо из-за того, что заметная часть таких интерпретаций теряет явную (только явную) лоренц-ковариантность, а также потому, что эта точка зрения не дала такого практического выхода, который убедил бы в её важности всех. Впрочем, следует заметить, что эвристически она, вероятно, была не последней среди побудительных причин, приведших к открытию уравнения Дирака — одного из наиболее фундаментальных уравнений квантовой теории.

Переформулировка лагранжевой механики

Начинаем с лагранжевой механики, уравнения движения в которой основаны на обобщённых координатах

$\{q_1, q_2, \dots, q_N\}$ или $\left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\}$, или, совсем сокращенно $~q$ - подразумевающее весь набор координат, если их больше одной,

и соответствующих обобщённых скоростях

$\{\dot q_1, \dot q_2, \dots, \dot q_N\}$ или $\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\}$, или совсем сокращенно $\dot{q}$ - подразумевающее весь набор обобщенных скоростей.

Лагранжиан запишется в виде

$L(q, \dot{q}, t)$, означающем $L(q_1, q_2, \dots, q_N, \dot q_1, \dot q_2, \dots, \dot q_N, t)$

с $q, \dot q$ представляющими в краткой записи все $N$ координат и $N$ скоростей. Гамильтонова механика ставит своей целью заменять обобщённые скорости обобщёнными переменными импульса, также известными как сопряжённые импульсы. Таким образом можно упростить определённые системы, например, в квантовой механике, которая иначе была бы ещё более сложной.

Для каждой обобщённой скорости существует соответствующий ей обобщённый импульс, определённый как

$p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}$.

В декартовых координатах обобщённые импульсы — это физические линейные импульсы. В полярных координатах обобщённый импульс, соответствующий угловой скорости — физический угловой момент. Для произвольного выбора обобщённых координат трудно получить интуитивную интерпретацию сопряжённых этим координатам импульсов или угадать их выражение, не используя прямо приведённую выше формулу.

• Впрочем, если какая-то координата оказалась циклической, то есть если функция Лагранжа от неё не зависит, а зависит только от её производной по времени, то сопряжённый ей импульс является интегралом движения (сохраняется во времени), что несколько проясняет смысл обобщённых импульсов. Полезно также заметить, что вообще именно временная производная обобщённого импульса является одним из слагаемых уравнения Лагранжа: $\dot{p_j} = \frac{d}{dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_j}$.

В этой формулировке, зависящей от выбора системы координат, не слишком очевиден тот факт, что различные обобщённые координаты являются в действительности не чем иным, как различными координатизациями одного и того же симплектического многообразия.

Функция Гамильтона — преобразование Лежандра лагранжиана:

$H\left(q,p,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q,\dot{q},t)$.

Если уравнения преобразования, определяющие обобщённые координаты, независимы от $t$, можно показать, что $H$ равен полной энергии: $E = T + V$.

Полный дифференциал гамильтониана запишется в виде:

$\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \end{matrix}$

Подставляя предыдущее определение сопряжённых импульсов в это уравнение и сравнивая коэффициенты, мы получаем уравнения движения гамильтоновой механики, известные как канонические уравнения Гамильтона:

${\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}$

Уравнения Гамильтона представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и, таким образом, их легче решать, чем уравнения Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Однако шаги, приводящие к уравнениям движения, более трудоёмки, чем в лагранжевой механике — начиная с обобщённых координат и функции Лагранжа, мы должны вычислить гамильтониан, выразить каждую обобщённую скорость в терминах сопряжённых импульсов и заменить обобщённые скорости в гамильтониане сопряжёнными импульсами. В целом, есть небольшой выигрыш в работе от решения проблемы в гамильтоновом, а не в лагранжевом формализме, хотя в конечном счёте это приводит к тем же решениям, что и лагранжева механика и законы движения Ньютона.

Основное предназначение гамильтонова подхода — то, что он обеспечивает основу для более фундаментальных результатов в классической механике.

Получение уравнений Гамильтона непосредственно из принципа стационарного действия

Простое прямое получение гамильтоновой формы механики исходит из гамильтоновой записи действия:

$S = \int (\sum_j p_j dq_j - H(p,q)dt) = \int (\sum_j p_j \dot{q}_j - H(p,q))dt$,

которое можно считать фундаментальным постулатом механики в этой формулировке^[1]. (Под p и q без индексов тут имеется в виду весь набор обобщённых импульсов и координат). Условие стационарности действия

$\ \delta S = 0$

дает возможность получить канонические уравнения Гамильтона, причем варьирование тут ведется независимо по $\ \delta p_j$ и $\ \delta q_j$. Так получаем (снова, но теперь без использования лагранжева способа) канонические уравнения Гамильтона:

$\dot{p}_j = - {\partial H \over \partial q_j},$

$\dot{q}_j = {\partial H \over \partial p_j},$

Используя второе, можно выразить все $\ p_j$ через набор $\ q_i$ и $\ \dot{q_i}$, после чего выражение под интегралом станет, очевидно, просто функцией Лагранжа. Таким образом мы получаем лагранжеву формулировку принципа стационарного (наименьшего) действия из гамильтоновой.

Математический формализм

Любая гладкая функция $H: M \to \mathbb{R}$ на симплектическом многообразии $M$ может использоваться, чтобы определить гамильтонову систему. Функция $H$ известна как гамильтониан или энергетическая функция. Симплектическое многообразие называют фазовым пространством. Гамильтониан порождает специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известном как симплектическое векторное поле.

Симплектическое векторное поле (также называется гамильтоновым векторным полем) порождает гамильтонов поток на многообразии. Интегральные кривые векторного поля являются однопараметрическим семейством преобразований многообразия с параметром, называемым время. Эволюция во времени задаётся симплектоморфизмами. Из теоремы Лиувилля следует, что каждый симплектоморфизм сохраняет форму объёма в фазовом пространстве. Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком, обычно называют гамильтоновой механикой гамильтоновой системы.

Гамильтоново векторное поле также порождает специальную операцию — скобка Пуассона. Скобка Пуассона действует на функции на симплектическом многообразии, таким образом придавая пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли.

В частности для данной функции $f$

$\frac{d}{dt} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,H\,\}.$

Если мы имеем распределение вероятности ρ, то можно показать, что его конвективная производная равняется нулю, так как скорость фазового пространства (${\dot p_i} , {\dot q _i}$) имеет нулевую дивергенцию, и вероятность сохраняется. Получим

$\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho ,H\,\}.$

Это выражение называют уравнением Лиувилля. Каждая гладкая функция $G$ над симплектическим многообразием задаёт семейство однопараметрических симплектоморфизмов, и если $\{ G , H \} = 0$, то $G$ сохраняется фазовым потоком.

Интегрируемость гамильтоновых векторных полей — нерешённый вопрос. Вообще, гамильтоновы системы — хаотичны; понятия меры, полноты, интегрируемости и стабильности плохо определены. В настоящее время исследования динамических систем посвящены, главным образом, изучению качественная свойств систем, и их изменений.

Примечания

1. ↑ Это (с точностью до постоянного множителя, который можно опустить при подходящем выборе единиц измерения), пожалуй, наиболее прямо записанное выражение для фазы

   $\phi = \int (\sum_j k_j dx_j - \omega(k_j,x_j) dt)$

   в квантовой механике (с точки зрения фейнмановского интеграла по траекториям или при простом квазиклассическом рассмотрении движения волнового пакета), где импульс и энергия являются с точностью до того же постоянного множителя (константы Планка) — частотой и волновым вектором

   $p_j=\hbar k_j, E=\hbar \omega$

   (здесь для простоты использованы декартовы координаты). Метод же стационарной фазы $\ \delta \phi = 0$ дает классическое приближение, что полностью аналогично излагаемому гамильтонову способу, другими словами, просто его повторяет. Заметим также, что в целом это один из наиболее прямых способов установить аналогию между распространением «точечных» волновых пакетов возмущений в широком классе сред и движением материальной точки механики. Аналогия же эта, в частности, позволяет получить ещё одну полезную точку зрения на природу и свойства обобщённых импульсов.

См. также

• Симплектическое многообразие
• Симплектическое пространство
• Уравнения Гамильтона
• Уравнение Гамильтона-Якоби
• Лагранжева механика

Внешние ссылки

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
• Вилази Г. Гамильтонова динамика. перевод с англ. М.: ИКИ и РХД, 2006. 432с. ISBN 5-93972-444-2
• Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974.
• Виноградов А. М., Купершмидт Б. А. Структура гамильтоновой механики. Успехи Математических Наук, 1977. Том 32. стр.175-236.
• Ralph Abraham, Jarrold E. Marsden Foundations of Mechanics. — London: Benjamin-Cummings, 1978. ISBN 0-8053-0102-X
• Marek Rychlik Lagrangian and Hamiltonian mechanics — A short introduction.
• James Binney Classical Mechanics. — Лекции в формате PDF.
• David Tong Classical Dynamics. — Лекции Кембриджского университета.