Дробный анализ

Понятие дробной производной является обобщением математического понятия производная. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае целого положительного порядка.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка p (p — действительное положительное число) определяется через интеграл Коши: $D_C^pf(x)=\frac1{\Gamma(p)}\!\int\limits_C\frac{f(u)}{(t-u)^{p+1}}\,du$, где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру C.

Как и простая, дробная производная обладает следующим свойством: $D_C^{p_1+p_2}=D_C^{p_1}\!D_C^{p_2}$

Используется в некоторых задачах кинетики, нелинейной динамики и т. п.

Чаще всего используется дробная производная порядка p = 1 / 2. С ее помощью можно, например, факторизовать выражения вида $f'(x)-F[f(x),x]=\left(D^{1/2}\!f(x)-\sqrt{F[f(x),x]}\right)\left(D^{1/2}\!f(x)+\sqrt{F[f(x),x]}\right)$, где фунция F — некоторая (в общем случае, не линейная) функция (например, F[f(x),x] = f²(x)).

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

F(f') = iωF(f).

Пример: дифференцирование многочленов

Пусть f(x) есть моном вида

$f(x) = x^k\;.$

Первая производная, как и обычно

$f'(x) = {d \over dx } f(x) = k x^{k-1}\;.$

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

${d^a \over dx^a } x^k = { k! \over (k - a) ! } x^{k-a}\;,$

который после замены факториалов гамма-функцией приводит к

${d^a \over dx^a } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}\;.$

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

${ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } x = { \Gamma(1 + 1) \over \Gamma ( 1 - {1 \over 2} + 1 ) } x^{1-{1 \over 2}} = { \Gamma( 2 ) \over \Gamma ( { 3 \over 2 } ) } x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2}\; = \frac{2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt{\pi}}.$

Повторяя процедуру, будем иметь

${ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma ( 1 + {1 \over 2} ) \over \Gamma ( {1 \over 2} - { 1 \over 2 } + 1 ) } x^{{1 \over 2} - {1 \over 2}} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma( { 3 \over 2 } ) \over \Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 \over \Gamma (1) } = 1\;,$

что представляет собой ожидаемый результат

$\left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \right) x = { d \over dx } x = 1 \,$

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая Γ как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования $n \not\in \{0,-1,-2,\ldots\}$. При этом

${d\over dx}^a{d\over dx}^b = {d\over dx}^{a+b}$

на всех x^k таких, что при данных дифференцированиях показатель степени не становится равным $0,-1,-2,\ldots$ .

См. также

Дифферинтеграл

Литература

• Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
• Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — Москва: Наука, 2005. — 199 с.
• Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение.. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — 5-9221-0440-3 экз.
• Учайкин В. В. Метод дробных производных.. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5

• S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. (Gordon and Breach, New York, 1993).
• K. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. (Wiley, New York, 1993).
• I. Podlubny, Fractional Differential Equations. (Academic Press, San Diego, 1999).
• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Application of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• B. Ross, «A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus» Lect. Notes Math. Vol.457. (1975) 1-36.

Ссылки

• журнал «Fractional Calculus & Applied Analysis», An International Journal for Theory and Applications, ISSN 1311-0454. (англ.)
• Applications of Fractional Calculus (англ.)
• Fractional Calculus, the Riemann-Liouville definition of the fractional integral, a definition of fractional derivatives, and a list of applications of the calculus. (англ.)
• Fractional Calculus (англ.)
• Fractional Calculus — Contains introductory notes on fractional calculus (англ.)
• Weisstein, Eric W. Fractional Calculus на сайте Wolfram MathWorld.(англ.).
• Интегралы и производные дробного порядка и их приложенияю С.Г.Самко, А.А.Килбас, О.И. Маричев, Минск, 1987