Дифференцирование алгебры Ли

В математике дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу Лейбница. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной C(t), операции дифференцирования соответствует дифференцирование по t.

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

$\partial\colon R \to R$

удовлетворяющими правилу Лейбница

$\partial (r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)$

для любых $r_1, r_2 \in R$. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило d(xy) = xdy + ydx может не выполняться. В безындексной форме записи, если $M\colon R \times R \to R$ — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

$\partial \circ M = M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial).$

где $f\otimes g$ — отображение пары (x,y) в пару (f(x),g(y)).

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

$\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u$

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

$\partial (u + v) = \partial u + \partial v$

Полем констант дифференциального поля K называется $k = \{u \in K | \partial(u) = 0\}$.

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых $k \in K$ и $x \in A$:

$\ \partial (kx) = k \partial x$

В безындексной форме записи, если $\eta \colon K\to A$ — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

$\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) = M \circ (\eta \times \partial)$

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых $a,b \in K$ и $x,y \in A$:

$\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)$

и

$\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y$

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли $\mathfrak{g}$ — это линейное отображение $D \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$, удовлетворяющее правилу Лейбница:

$\ D([a,b]) = [a,D(b)] + [D(a),b]$

Для любого $a \in \mathfrak{g},~\operatorname{ad}(a)$ — дифференцирование на $\mathfrak{g}$, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если A — алгебра с единицей, то $\partial(1)=0$, так как $\partial(1) = \partial(1\times 1) = \partial(1) + \partial(1)$. Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле $\Bbb{Q}(t)$ существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством $\partial(t)=1$: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по t. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

$\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2 u \partial(u)$

В дифференциальном поле $\Bbb{Q}(t)$ нет решения дифференциального уравнения $\partial(u) = u$, но можно расширить его до поля, содержащего функцию e^t, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

$R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}.$

Умножение в этом кольце определяется как

$(r\xi^m)(s\xi^n) = \sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}.$

Здесь ${m \choose k}$ — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

$\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}$

следующее из

${-1 \choose n} = (-1)^n$

и

$r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r).$

Градуированное дифференцирование

Пусть A — градуированная алгебра, D — однородное линейное отображение, $d = \left| D \right|$. D называется однородной производной, если D(ab) = D(a)b + ε ^{| a | | D |} aD(b), $\epsilon = \pm1$ при действии на однородные элементы A. Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым ε.

Если ε = 1, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если ε = − 1, то D(ab) = D(a)b + ( − 1) ^{| a |} aD(b), для нечётных $\left| D \right|$. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть $\mathbb{Z}_2$-градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также

• Дифференциальная теория Галуа
• Кэлеров дифференциал
• Дифференциально замкнутое поле
• D-модуль — это алгебраическая структура с несколькими действующими на ней дифференциальными операторами.

Литература

• Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
• И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
• Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
• Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
• А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.

• Домашняя страница Давида Маркера содержит несколько статей о дифференциальных полях.