Дифференциальное и интегральное исчисление

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят

• дифференциальное и интегральное исчисление
• теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов
• векторный анализ.

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.

Программа курса анализа, читаемого в университетах РФ, примерно соответствует программе англо-американского курса «Calculus» ^[1].

Исторический очерк

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.^[2]

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…»^[3]. Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли, Якоб и Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник^[4], излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечет изменение другой. У Лопиталя эта связь дается при помощи плоских кривых: если M — подвижная точка плоской кривой, то ее декартовы координаты x и y, именуемые диаметром и ординатой кривой, суть переменные, причем изменение x влечет изменение y. Понятие функции отутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d.^[5] … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом.^[6]

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой. ^[7]

Отсюда получается x + dx = x, далее

dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.^[8]

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой.^[9] Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придает большое значение величине

$y\frac{dx}{dy}-x$,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придается никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.^[10]

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x², тогда в силу первого требования

2xdx + dx² = 2xdx;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соотетствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0.^[11]. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделен на dx^[12].

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a. Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла^[13]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница^[14], однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция — это выражение для счета (нем. Rechnungsausdrϋck) или аналитическое выражение.^[15]

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.^[16]

Подчеркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением».^[17] Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счета определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа $\infty$^[18]. В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

$e^x=\left(1+\frac{x}{\infty}\right)^\infty$,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счета так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентые функции и в особенности два наиболее изученные их классы — показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспоненты ^[19].

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

$(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)(\cos y + \sqrt{-1}\sin y)=\cos{(x+y)}+ \sqrt{-1} \sin{(x+y)},$

а отсюда

$2\cos nx =(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)^n+(\cos x - \sqrt{-1}\sin x)^n$

Полагая $n=\infty$ и z = nx, он получает

$2\cos z =\left (1 + \frac{\sqrt{-1} z}{\infty}\right)^\infty+\left (1 - \frac{\sqrt{-1}z}{\infty}\right)^\infty=e^{\sqrt{-1}z}+e^{-\sqrt{-1}z}$,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

$e^{\sqrt{-1}x}=\cos{x}+\sqrt{-1}\sin{x}$.

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне).^[20] В XIX веке с подачи Казорати^[21] это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно еще переписать предельный переход при помощи символа $\infty$.

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона -формула Тейлора. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение $\frac{d^ky}{dx^k}$, которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трехтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой = Xdx, называется его интегралом и обозначается знаком S, поставленным спереди.^[22]

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ-функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций^[23] Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа^[24] в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f(x), дав графический способ записи зависимости — ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

$f(x+h)=f(x)+ph+qh^2+\dots$,

коэффициенты которого будут новыми функциями x. Остается назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f'(x). Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остается заметить, что

$f'(x+h)=p+2qh+\dots$,

поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f(x), то есть

$q=\frac{1}{2!}f''(x)$ и т. д.^[25]

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.^[26]

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.^[27] Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, в последствие стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привел в качестве контрпримера функцию

$f(x)=e^{-1/x^2},$

доопределённую нулем в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f(x). Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при $x\not=0$. Лишь в конце XIX века Прингсхейм^[28] доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

$\Psi(x)=\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\cos{(3^kx)}}{k!}$.

Дальнейшее развитие

В XVIII веках были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции.

В XIX веке Коши первым дал анализу твердое логическое обоснование, введя понятие последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование неудобным, и предложил определение предела через ε-δ-язык;. Тогда математики стали сомневаться в существовании множества вещественных чисел. Дедекинд ввёл вещественные числа с помощью дедекиндовых сечений. В это время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантор — теорию множеств, и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью.

См. также

Детерминационный анализ

Библиография

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

• Кудрявцев, Л.Д., Курс математического анализа (в трех томах).

Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Т. 2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Т. 3. Гармонический анализ. Элементы функционального анализа. Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. Предназначается студентам университетов и физико-математических, и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.

• Курант, Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна, затем в 1930-х перенесен на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
• Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) // Мат. анализ на EqWorld — очень хороший, но немного старомодный учебник.

и задачник

• Демидович, Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу // Мат. анализ на EqWorld

Имеется несколько изданий, претендующих на роль АнтиДемидовича:

• Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математики. т. 1-5

Большинство ВУЗов имеют собственные руководства по анализу:

• МГУ, мехмат:

• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.

• МГУ, ВМК:

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ (в двух частях)

• МГУ, физфак:

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях) // http://lib.homelinux.org.
• Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах // http://lib.homelinux.org.
• Методические материалы

• МГТУ им Н. Э. Баумана:

• Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

• НГУ, мехмат:

• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с ISBN 5-86134-066-8.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 440 с ISBN 5-86134-086-2.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7.
• Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, 2003: Часть 1. Функции одной переменной, Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

• Физтех, Москва

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в трёх томах)

Учебники повышенной сложности

Учебники:

• Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 — небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

• Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1, Часть 2, 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
• Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Справочники

• Таблица производных
• Список интегралов

Классические произведения

• Лопиталь. Анализ бесконечно малых // Мат. анализ на EqWorld
• Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
• Эйлер. Введение в анализ, Дифференицальное исчисление, Интегральное исчисление //Мат. анализ на EqWorld (Второй том Введения в анализ сохранен с ошибкой)
• Коши. Краткое изложение уроков по дифференциальному и интегральному исчислению //Мат. анализ на EqWorld
• Штурм. Курс анализа. Т.1,2 — Классический курс парижской политехнической школы 1830-х годов.
• Гурса Э. Курс мат. анализа. T. 1.1, 1.2 // Мат. анализ на EqWorld

Исторические книги

• Кестнер, Авраам Готтгельф. Geschichte der Mathematik. 4 тома, Геттинген, 1796—1800
• Кантор, Мориц. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, 1894—1908. Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 XVIII столетия. (1972)

• Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960
• Первый российский учебник по мат. анализу: М.Е. Ващенко-Захарченко, Алгебраический Анализ или Высшая Алгебра. 1887

Примечания

1. ↑ Ср., напр.,курс Cornell Un
2. ↑ Ньютон И. Математические работы. M, 1937.
3. ↑ Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220—226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166—173.
4. ↑ Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л.:ГТТИ, 1935. (Далее: Лопиталь) // Мат. анализ на EqWorld
5. ↑ Лопиталь, гл. 1, опр. 2.
6. ↑ Лопиталь, гл. 4, опр. 1.
7. ↑ Лопиталь, гл. 1, требование 1.
8. ↑ Лопиталь, гл. 1, требование 2.
9. ↑ Лопиталь, гл. 2, опр.
10. ↑ Лопиталь, § 46.
11. ↑ Лопиталь беспокоится о другом: dy для него длина отрезка и нужно пояснить, что значит ее отрицательность. Замечание, слеланное в § 8-10, можно даже понять так, что при убывании y с ростом x следует писать dxy = ydx − xdy, однако далее это не используется.
12. ↑ Лопиталь, § 46.
13. ↑ Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
14. ↑ См.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23)
15. ↑ См. Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций, Учпедгиз, 1944. С. 21 и сл.; Koenig F. Kommentierender Anhang zu Funktionentheorie von F. Klein. Leipzig: Teubner, 1987; а также Исторический очерк в статье Функция
16. ↑ Эйлер. Введение в анализ. Т. 1. Гл. 1, § 4
17. ↑ Эйлер. Введение в анализ. Т. 1. Гл. 1, § 6
18. ↑ Эйлер обозначает это число как i, что не может не путать современного читателя.
19. ↑ Введении в анализ, т. 1, гл. 8
20. ↑ Некоторые исследователи (см., напр., История Математики, т. 2) хотят видеть в сказанном во втором томе Введения в анализ ростки новой трактовки понятия функции, но в тексте говорится лишь о том, что кривые, а вовсе не функции, могут не быть представимы в виде единого выражения для счета, то есть одной функции.
21. ↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. Pavia, 1868. P. 191
22. ↑ Эйлер. Интегральное исчисление. Т. 1, опр. 2
23. ↑ Lagrange. OEvres. Vol. 9
24. ↑ Lacroix. Traite du calcul differentiel et du calcul integral. Vol. 1-3. 1 ed., 1798. (Большой Лакруа)// http://gallica.bnf.fr
25. ↑ См. также: Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций. М., 1944. C. 22-24
26. ↑ Lacroix. Traite, vol. 2, § 594.
27. ↑ См. также: История математики, т. 3., с. 297—300
28. ↑ Pringssheim A.// Math. Ann. Bd. 43 (1893); см. также: Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций. М., 1944. C. 16-17.

Разделы математики

Теория множеств | Арифметика | Геометрия | Математический анализ | Дифференциальные уравнения | Алгебра | Теория чисел | Дискретная математика | Комплексный анализ | Функциональный анализ | Дифференциальные геометрия и топология | Топология | Математическая логика | Теория категорий | Линейная алгебра | Теория вероятностей | Математическая статистика