Диофантовы уравнения


Диофантовы уравнения

Диофа́нтово уравнение или уравнение в целых числах — это уравнение с целыми коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

Содержание

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения: ax+by+\ldots+cz=d. В литературе под диофантовыми уравнениями иногда понимаются также уравнения более частного вида — с двумя неизвестными:

ax+by=c\qquad(1)

которые достаточно хорошо изучены.

Если (a,b) \nmid c (то есть c не делится нацело на НОД(a,\;b)), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, в этом случае (a,\;b) \ne 1, но тогда число, стоящее слева в (1) делится на (a,\;b), а стоящее справа — нет. Если в уравнении ax + by = 1 (a,\;b)=1, то оно разрешимо в целых числах.

Пусть (x_0,\;y_0) — решение уравнения ax + by = c. Тогда все его решения находятся по следующим формулам:

x = x0bn, y = y0 + an, n \in\mathbb Z.

Начальное (базисное) решение (x_0,\;y_0) можно построить таким образом. Если (a, b) \ne 1, то (если уравнение имеет решения) c делится на (a, b) в силу вышесказанного. Тогда уравнение сводится к виду a1x + b1y = c1 путем деления всех коэффициентов на (a,b). Для уравнения ax + by = c с (a,b) = 1 базисное решение получается из соотношения Безу для a, b:

ua + vb = 1,

исходя из которого, можно положить (x_0,\;y_0) = (c\cdot u,\;c\cdot v).

Некоторые другие уравнения

  • xn + yn = zn:
  • x2ny2 = 1, где n не является точным квадратом — уравнение Пелля
  • xzyt = 1, где z,t > 1, — уравнение Каталана
  • \sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c при n\ge 3 и c\ne 0 — уравнения Туэ

Неразрешимость в общем виде

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 г., состоит в нахождении алгоритма решения произвольных диофантовых уравнений. В 1970 г. Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Диофантовы уравнения" в других словарях:

  • ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения …   Большой Энциклопедический словарь

  • ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с… …   Математическая энциклопедия

  • Диофантовы уравнения — алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. * * * ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ, алгебраические… …   Энциклопедический словарь

  • Диофантовы уравнения — (по имени древнегреческого математика Диофанта)         алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или… …   Большая советская энциклопедия

  • ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебр. ур ния или их системы с целыми коэф., имеющие число неизвестных, превосходящее число ур ний, и у к рых разыскиваются целые или рациональные решения. Названы по имени Диофанта Александрийского …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ДИОФАНТОВЫ ПРОБЛЕМЫ АДДИТИВНОГО ТИПА — диофантовы уравнения, для к рых ставится задача нахождения целочисленных решений и к рые могут одновременно рассматриваться как аддитивные проблемы, т. е. как задачи о разбиении целого числа п(произвольного или подчиненного дополнительным… …   Математическая энциклопедия

  • ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ — раздел теории чисел, в к ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в …   Математическая энциклопедия

  • УРАВНЕНИЯ — Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… …   Энциклопедия Кольера

  • Диофантовы приближения —         часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с… …   Большая советская энциклопедия

  • Диофантово уравнение — это уравнение вида где P целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. Содержание 1 Примеры …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Диофантовы уравнения» >>