Десятичный логарифм

График десятичного логарифма

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа $b$ есть решение уравнения $~10^x=b.$

Десятичный логарифм числа $b$ существует, если $~b>0.$ Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его $~\lg\,b$. Примеры:

$\lg\,1=0;\, \lg\,10=1;\, \lg\,100=2;\, \lg\,1000000=6$

$\lg\,0{,}1=-1;\, \lg\,0{,}001=-3$

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: $~\operatorname{log}, \operatorname{Log}, \operatorname{Log10}$, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

	Формула	Пример
Произведение	$\lg(x y) = \lg (x) + \lg (y) \,$	$\lg (10000) = \lg(100 \cdot 100) = \lg (100) + \lg (100) = 2 + 2 = 4 \,$
Частное от деления	$\lg \!\left(\frac x y \right) = \lg (x) - \lg (y) \,$	$\lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3$
Степень	$\lg(x^p) = p \lg (x) \,$	$\lg (10000000) = \lg (10^7) = 7 \lg (10) = 7 \,$
Корень	$\lg \sqrt[p]{x} = \frac {\lg (x)} p \,$	$\lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

$\lg |x y| = \lg (|x|) + \lg (|y|),$

$\lg \!\left|\frac x y \right| = \lg (|x|) - \lg (|y|),$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

$\lg(x_1 x_2 \dots x_n) = \lg (x_1) + \lg (x_2) + \dots + \lg (x_n)$

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел $x, y$ с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел $x, y$.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения $x \cdot y$.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

$\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x$

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

$\lg\,0{,}012=\lg\,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg\,1{,}2\approx-2+0{,}079181=-1{,}920819$

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

$\lg\,0{,}012\approx-2+0{,}079181=\bar{2}{,}079181$

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: $~y = \lg\,x$. Она определена при всех $~x>0$. Область значений: $E(y)=(-\infty; + \infty )$. График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

$\frac {d} {dx} \lg\, x = \frac {\lg\, e} {x}$

Ось ординат $(x=0)$ является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

$\lim_{x \to 0+0} \lg\, x = - \infty$

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть $L$ логарифма числа $x$ (характеристику логарифма) легко определить.

• Если $x>1,$ то $L$ на 1 меньше числа цифр в целой части числа $x$. Например, сразу очевидно, что lg 345 находится в промежутке (2, 3).
• Если $x<1,$ то ближайшее к $L$ целое (в меньшую сторону) равно общему числу нулей в $x$ перед первой ненулевой цифрой, взятому со знаком минус. Например, lg 0,0014 находится в интервале (-3, -2).

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на $n$ разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на $n.$ Например:

$\lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3$

Отсюда следует, что достаточно составить таблицу мантисс (дробных частей) десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[4]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10ⁿ

Число	логарифм	характеристика	мантисса	запись
n	lg(n)	C = floor(lg(n) )	M = (lg(n) − характеристика)
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.

Десятичная логарифмическая шкала на логарифмической линейке

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)^[5].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[6]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[7]:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Ссылки

• Десятичные (бригсовы) логарифмы.  (англ.)

Примечания

1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189.
3. ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
4. ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406.
5. ↑ История математики, том II, 1970, с. 62.
6. ↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е.. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4
7. ↑ Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.