Наименьшее общее кратное


Наименьшее общее кратное

Наиме́ньшее о́бщее кра́тное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. Обозначается одним из следующих способов:

  • НОК(mn);
  • [mn];
  • lcm(mn)    (от англ. Least Common Multiple).

Пример: НОК(16, 20) = 80.

Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.

Содержание

Свойства

Нахождение НОК

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами.

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\operatorname{gcd}(a,b)}

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

a=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k},
b=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k},

где p_1,\dots,p_k — различные простые числа, а d_1,\dots,d_k и e_1,\dots,e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОК(a,b) вычисляется по формуле:

[a,b]=p_1^{\max(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}.

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример:

8\; \, \; \,= 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \,\!
9\; \, \; \,= 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \,\!
21\; \,= 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1. \,\!
\operatorname{lcm}(8,9,21) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 7 = 504. \,\!

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

  • \operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c);
  • \operatorname{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}), a_n).

См. также

Литература

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Наименьшее общее кратное" в других словарях:

  • НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ — наименьшее из целых положительных чисел, делящихся без остатка на каждое из данных целых чисел. Напр., наименьшее общее кратное 2, 3 и 4 есть 12 …   Большой Энциклопедический словарь

  • наименьшее общее кратное — HOK — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации Синонимы HOK EN least common multipleLCM …   Справочник технического переводчика

  • наименьшее общее кратное — наименьшее из целых положительных чисел, делящихся без остатка на каждое из данных целых чисел. Например, наименьшее общее кратное 2, 3 и 4 есть 12. * * * НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ, наименьшее из целых положительных чисел …   Энциклопедический словарь

  • НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ — наименьшее положительное из общих кратных целых, в частности натуральных, чисел . Н. о. к. чисел существует, если . Н. о. к. чисел обычно обозначают символом Свойства Н: о. к.: 1) Н. о. к. чисел делитель любого общего кратного этих чисел; 2) 3)… …   Математическая энциклопедия

  • НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ — наименьшее из целых положит. чисел, делящихся без остатка на каждое из данных целых чисел. Напр., Н. о. к. 2, 3 и 4 есть 12 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Наименьшее общее кратное —         двух или нескольких натуральных чисел наименьшее, делящееся на каждое из них, положительное число. Например, Н. о. к. чисел 2 и 3 есть 6, чисел 6, 8, 9, 15 и 20 есть 360. Н. о. к. пользуются при сложении и вычитании дробей: наименьшим… …   Большая советская энциклопедия

  • наименьшее общее кратное (НОК) — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN least common multipleLCM …   Справочник технического переводчика

  • КРАТНОЕ — число, делящееся на данное целое число без остатка, напр. 12 кратно 3. Общее кратное нескольких целых чисел число, делящееся на каждое из них в отдельности, напр. 180 общее кратное чисел 30, 18, 2. При арифметических действиях особое значение… …   Большой Энциклопедический словарь

  • кратное — ого; ср. Целое число, делящееся на данное без остатка. Шесть к. чисел два и три. Наименьшее общее к. нескольких чисел. * * * кратное число, делящееся на данное целое число без остатка, например 12 кратно 3. Общее кратное нескольких целых чисел … …   Энциклопедический словарь

  • КРАТНОЕ — натурального числа а натуральное число, делящееся на о без остатка. Число п, к рое делится на каждое из чисел а, b, . . . , т, наз. общим кратным этих чисел. Из всех общих К. двух или нескольких чисел одно (не равное нулю) является наименьшим… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.