Гёльдера неравенство


Гёльдера неравенство

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств Lp.

Содержание

Формулировка

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) — пространство с мерой, а L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) — пространство функций вида f:X \to \mathbb{R} с конечной интегрируемой p-ой степенью. Тогда в последнем определена норма

\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}.

где p \ge 1 , обычно подразумевается, что это натуральное число.


Пусть f \in L^p, а g \in L^q, где p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1. Тогда f \cdot g \in L^1, и

\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив p = q = 2, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства L2.

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство E = \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n. Lp-норма в этом пространстве имеет вид:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top},

и тогда

 \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E.

Пространство lp

Пусть X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, mсчётная мера на \mathbb{N}. Тогда множество всех последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

называется lp. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q.

Вероятностное пространство

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) — вероятностное пространство. Тогда L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) состоит из случайных величин с конечным pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

 \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q.

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Гёльдера неравенство" в других словарях:

  • Гёльдера неравенство —         для конечных сумм:                   для интегралов:                   где р > 1 и 1/p + 1/q = 1. Г. н. установлено немецким математиком О. Л. Гёльдером (О. L. Hölder) в 1889. Принадлежит к наиболее употребительным в математическом… …   Большая советская энциклопедия

  • ГЁЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО — 1) Г. н. для сумм. Пусть нек рые множества комплексных чисел, , где S конечное или бесконечное множество индексов. Справедливо Г. н. где причем равенство достигается тогда и только тогда, когда , а и Сне зависят от . При Г. н. для сумм наз. Коши… …   Математическая энциклопедия

  • НЕРАВЕНСТВО — отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков: (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами.… …   Математическая энциклопедия

  • Неравенство Йенсена — обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком. Неравенство Йе …   Википедия

  • Неравенство Гёльдера — в функциональном анализе и смежных дисциплинах  это фундаментальное свойство пространств . Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство …   Википедия

  • Неравенство Гёлдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм — Пусть заданы числа (вообще говоря комплексные) и число q определяется равенством Тогда справедливы неравенства: (Неравенство Гёльдера) и …   Википедия

  • Неравенство Гельдера — Неравенство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах  это фундаментальное свойство пространств Lp. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи 2.1 Неравен …   Википедия

  • Неравенство Минковского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой ой степенью. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство …   Википедия

  • Неравенство Юнга — в математике  элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга  Фенхеля. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство …   Википедия

  • Неравенство о средних — Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел определяется как При этом по непрерывности доопределяются следующие величины …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.