Поле (алгебра)


Поле (алгебра)

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция, или сложение) и \cdot (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей 1 \neq 0, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и \cdot (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению (a + b = b + a), все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению (\forall a \neq 0, b \neq 0 : a \cdot b = b \cdot a), и выполняется свойство дистрибутивности.

Содержание

Связанные определения

  • Характеристика поля — наименьшее положительное целое число n такое, что сумма n копий единицы равна нулю:
        n\cdot 1=0
    Если такого числа не существует, то характеристика равна 0 по определению.
  • Подполем поля k называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в k. (Подполем поля k называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в k, несущим множеством которого является подмножество несущего множества k)
  • Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.
  • Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
  • Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.

Свойства

  • Характеристика поля всегда 0 или простое число.
  • Количество элементов в конечном поле всегда равно p^n — степени простого числа.
    • При этом для любого числа вида p^n существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из p^n элементов, обычно обозначаемое \mathbb{F}_{p^n}.
  • Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
  • В поле нет делителей нуля.

Примеры множеств, являющихся полями

См.также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Поле (алгебра)" в других словарях:

  • Алгебра Хопфа — Алгебра Хопфа  алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа. Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в… …   Википедия

  • Алгебра Темперли — Алгебра Темперли  Либа, в статистической механике  алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер матрицы. Открыты Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Также алгебра применяется в теории интегрируемых моделей, имеет отношение… …   Википедия

  • Поле (алгебраич.) — Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия… …   Большая советская энциклопедия

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия

  • Поле разложения — многочлена p над полем наименьшее расширение поля, над которым разлагается в произведение линейных множителей: При этом , поэтому о поле разложения говорят как расширении, полученном присоединением к …   Википедия

  • Поле разложения многочлена — p над полем K наименьшее расширение поля, над которым p разлагается в произведение линейных множителей: При этом , поэтому о поле L разложения говорят как расширении, полученном присоединением к K всех корней данного многочлена. Аналогично… …   Википедия

  • ПОЛЕ — коммутативно ассоциативное кольцо с единицей, множество ненулевых элементов к рого не пусто и образует группу относительно умножения. П. можно охарактеризовать также как простые ненулевые коммутативно ассоциативные кольца с единицей. Примеры… …   Математическая энциклопедия

  • Алгебра — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра (от араб. الجبر‎‎, «аль джабр»  восполнение[1])  раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово… …   Википедия

  • Поле — I Поле         1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с. х. растений. 3)… …   Большая советская энциклопедия