Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лиувилля.

Теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Теорема утверждает сохранение во времени фазового объема, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в $6N$-мерном фазовом пространстве ($N$ — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами $q_i$ и сопряжёнными импульсами $p_i$, где $i=1,\dots,d$, $d=3N$. Тогда распределение в фазовом пространстве $\rho(p_i,q_i)$ определяет вероятность $\rho(p,q)\,\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp$ того, что система будет находиться в элементе объёма $\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp$ своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию $\rho(p_i,q_i;t)$ во времени $t$ согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

$\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right)=0.$

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

$\dot{q}_i \equiv \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p_i}$

$\dot{p}_i \equiv \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}$

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция $\rho$ определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla (\rho \, \mathbf{v})= \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \rho\,\mathrm{div}\mathbf{v} + \mathbf{v}\,\mathrm{grad}\rho =0,$

где $\mathbf{v}$ — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

$\nabla (\rho \, \mathbf{v}) = \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)$

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

$\rho\,\mathrm{div}\mathbf{v} = \rho \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)=\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,$

где $H$ — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности $d \rho/dt$ равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей $(\dot p , \dot q)$ в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — $p_i$ — но сжимается по другой координате $q_i$ так, что произведение $\Delta p_i \Delta q_i$ остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объем) не изменяется.

Более точно, фазовый объём $\Gamma$ сохраняется при сдвигах времени. Если

$\int\limits_\Gamma d^dq\,d^dp = C,$

и $\Gamma(t)$ множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество $\Gamma$ в момент времени $t$, тогда

$\int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C,$

для всех времён $t$. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

$N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q)$

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил $\mathbf{F}$ с координатами $\mathbf{x}$ и импульсами $\mathbf{p}$, теорему Лиувилля можно записать в виде

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0,$

где $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}$ — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил $\mathbf{F}$.

В классической статистической механике число частиц $N$ велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае $\partial\rho/\partial t=0$ можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения $\rho$ равна любой функции гамильтониана $H$, например, в распределении Максвелла-Больцмана $\rho\propto e^{-H/kT}$, где $T$ — температура, $k$ — постоянная Больцмана.

Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Запись через скобку Пуассона

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах $(q^i,p_j)$ вид

$\{A,B\} = \sum_{i=1}^{N} \left( - \frac{\partial A}{\partial q^{i}} \frac{\partial B}{\partial p_{i}} + \frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial B}{\partial q^{i}} \right)$

уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}$

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

$i{\hat{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],$

для гамильтоновых систем уравнение приобретает вид

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+i{\hat{L}}\rho =0.$

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

$\frac{\partial}{\partial t}\rho= \frac{1}{i \hbar}[H,\rho]$

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики. Обобщениями на системы со столкновениями являются уравнение Больцмана, и цепочка уравнений Боголюбова.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана