Группы Ли


Группы Ли

Группой Ли над полем K (K=\R или \mathbb C) называется группа G, снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над K, причём отображения \operatorname{mul} и \operatorname{inv}, определённые так:

\operatorname{mul}\colon G\times G \rightarrow G;\ \operatorname{mul}\,(x, y) = xy,
\operatorname{inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname{inv}\,x=x^{-1}

являются гладкими (в случае поля \mathbb C требуют голоморфности введённых отображений).

Всякая комплексная n-мерная группа Ли является вещественной группой Ли размерности 2n. Всякая комплексная группа Ли по определению является аналитическим многообразием, но и в вещественном случае на любой группе Ли существует аналитический атлас, в котором отображения \operatorname{mul} и \operatorname{inv} записываются аналитическими функциями.

Названы в честь Софуса Ли. Группы Ли естественно возникают при рассмотрении непрерывных симметрий. Например, движения плоскости образуют группу Ли. Группы Ли являются в смысле богатства структуры лучшими из многообразий и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, физике и математическом анализе.

Содержание

Типы групп Ли

Группы Ли классифицируются по своим алгебраическим свойствам (простоте, полупростоте, разрешимости, нильпотентности, абелевости), а также по топологическим свойствам (связности, односвязности и компактности).

Подгруппы Ли

Подгруппа H группы Ли G называется её подгруппой Ли, если она является подмногообразием в многообразии G, то есть найдётся m > 0, такое, что H задаётся в окрестности каждой своей точки p системой из k функций, имеющей в p ранг m. Не всякая подгруппа является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида (eix,eiπx) в торе \{(e^{ix},e^{iy}\mid x,y\in\R\} не является подгруппой Ли (она дает всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута. В вещественном случае верно и обратное: замкнутая подгруппа является подгруппой Ли. В комплексном случае это не так: бывают вещественные подгруппы Ли комплексной группы Ли, имеющие нечетную размерность, например, унитарные матрицы в группе обратимых комплексных матриц 2\times 2.

Пусть H — подгруппа Ли группы Ли G. Множество G / H смежных классов (безразлично, левых или правых) можно единственным образом наделить структурой дифференцируемого многообразия так, чтобы каноническая проекция была дифференцируемым отображением. При этом получится локально тривиальное расслоение, и если Hнормальная подгруппа, то факторгруппа будет группой Ли.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Пусть G и H — группы Ли над одним и тем же полем. Гомоморфизмом групп Ли называется отображение f\colon G\to H, являющееся гомоморфизмом групп и одновременно аналитическим отображением многообразий. (Можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности f.) Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют категории \operatorname{Lie}_\R и \operatorname{Lie}_\C. Гомоморфизм групп Ли называется изоморфизмом, если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли SO(2) поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли U(1) комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения, являются изоморфными.

Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.

Гомоморфизм группы Ли G над полем K в группу GL(V) невырожденных линейных преобразований векторного пространства V над полем K называется представлением группы G в пространстве V.

Действия групп Ли

Группы Ли часто выступают как симметрии какой-либо структуры на некотором многообразии, а потому естественно, что изучение действий групп Ли на различных многообразиях является важным разделом теории. Говорят, что группа Ли G действует на гладком многообразии M, если задан гомоморфизм групп a: GDiff M, где Diff M — группа диффеоморфизмов M. Таким образом, каждому элементу g группы G должно соответствовать диффеоморфное преобразование ag многообразия M, причём произведению элементов и взятию обратного элемента отвечают соответственно композиция диффеоморфизмов и обратный диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о каком действии идёт речь, то образ ag(m) точки m при диффеоморфизме, определяемом элементом g, обозначается просто gm.

Группа Ли естественно действует на себе левыми и правыми сдвигами, а также сопряжениями. Эти действия традиционно обозначаются l, r и a:

lg(h) = gh,
rg(h) = hg,
ag(h) = ghg−1.

Другим примером действия является действие группы Ли G на множестве смежных классов этой группы по какой-нибудь подгруппе Ли NG:

g (hN) = (gh)N,

Действие группы Ли G на дифференцируемом многообразии M называется транзитивным, если любую точку M можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента G. Многообразие, на котором задано транзитивное действие группы Ли. называется однородным пространством этой группы. Однородные пространства играют важную роль во многих разделах геометрии. Однородное пространство группы G диффеоморфно G / st x, где st xстабилизатор произвольной точки.

Алгебра Ли группы Ли

Со всякой группой Ли можно связать некоторую алгебру Ли, которая полностью отражает локальную структуру группы, во всяком случае, если группа Ли связна.

Векторное поле на группе Ли G называется левоинвариантным, если оно коммутирует с левыми сдвигами, то есть

V(lg* f) = lg* (Vf) для всех g из G, и любой дифференцируемой функции f.

Эквивалентно,

dlg (Vx) = Vgx для всех x, y из G.

Очевидно, любое левоинвариантное векторное поле V на группе Ли полностью определяется своим значением Ve в единице. Наоборот, задав произвольный вектор V в касательном пространстве Ge к единице, можно разнести его левыми сдвигами по всей группе. Получается взаимно однозначное соответствие между касательным пространством к группе в единице и пространством левоинвариантных векторных полей.

Скобка Ли [X,Y] левоинвариантных векторных полей будет левоинвариантным векторным полем. Поэтому Ge является алгеброй Ли. Эта алгебра называется алгеброй Ли группы G. Обычно она обозначается соответствующей малой готической буквой.

См. также

Литература

  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
  • Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. М.: ВИНИТИ. 1988
  • Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld - "Мир математических уравнений":


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Группы Ли" в других словарях:

  • группы — сущ. • виды Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 …   Словарь синонимов

  • Группы крови — У этого термина существуют и другие значения, см. Группы крови (значения). Группа крови  описание индивидуальных антигенных характеристик эритроцитов, определяемое с помощью методов идентификации специфических групп углеводов и белков,… …   Википедия

  • Группы взаимопомощи — Группы взаимопомощи  регулярные собрания, проводимые с целью обмена опытом и моральной поддержки участниками друг друга. На группах обсуждаются сложные ситуации в жизни участников и варианты их решения. Группа взаимопомощи это сообщество… …   Википедия

  • ГРУППЫ ИНТЕРЕСОВ — (interest groups) Объединения, стремящиеся повысить заинтересованность в решении или продвижении дела определенной, более или менее узкой общественной группировки (при этом цель сформировать или войти в правительство не ставится). Термины Группы… …   Политология. Словарь.

  • ГРУППЫ КРОВИ — инмуногенетич. признаки крови, обусловленные специфич. антигенами (изоантигенами) и позволяющие делить кровь особей одного видана группы. Формируются в раннем периоде эмбрионального развития и не меняются на протяжении жизни. Впервые Г. к.… …   Биологический энциклопедический словарь

  • Группы интересов — добровольные или вынужденные объединения людей, приспособленные или специально созданные иногда другими, для удовлетворения и отстаивания жизненно (насущно ,властно ) значимых интересов её членов в отношениях с: государством, остальной частью… …   Википедия

  • группы транснациональные финансово-промышленные — группы межгосударственные финансово промышленные Финансово промышленные группы, среди участников которых имеются юридические лица, находящиеся под юрисдикцией государств участников Содружества Независимых Государств, имеющие обособленные… …   Справочник технического переводчика

  • ГРУППЫ КРОВИ — иммуногенетические признаки крови у особей одного биологического вида. Особи с одной группой крови отличаются от особей с другой группой крови наличием или отсутствием у них определенных антигенов в эритроцитах, лейкоцитах, плазме крови, во… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ГРУППЫ СОЦИАЛЬНЫЕ — относительно устойчивые совокупности людей, имеющих общие интересы, ценности и нормы поведения, складывающиеся в рамках исторически определенного общества. Различают большие группы социальные: общественные классы, социальные слои,… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Группы Томпсона — F и T специальным образом построенные группы гомеоморфизмов отрезка и окружности соответственно. А именно, гомеоморфизм отрезка или окружности принадлежит группе F или Т соответственно, если: он кусочно линеен; на каждом отрезке линейности… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Группы Ли» >>