Группа бордизмов

«Штаны» — бордизм между окружностью и парой окружностей

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

Неориентированные бордизмы

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых n-мерных многообразия M и M' бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное (n + 1)-мерное многообразие W (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий M и M', (или точнее многообразий M₀ и M₁ диффеоморфных, соответственно, M и M' посредством некоторых диффеоморфизмов $g_0:M\to M_0$ и $g_1:M'\to M_1$). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку (W,M₀,M₁) называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке (W,M₀,M₁,g₀,g₁)). Множество классов бордизмов n-мерных многообразий образует абелеву группу $\Omega_n^O$ относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: M — ограничивающее многообразие, M — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом $\Omega_n^O$ обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий M диффеоморфно границе прямого произведения $M\times [0,1]$). Прямая сумма $\Omega_*^O$ групп $\Omega_n^O$ является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Бордизмы с дополнительной структурой

Ориентированные бордизмы

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия M и M' ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка W ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией W на M₀ и M₁ (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах g₀ и g₁, соответственно, в исходную ориентацию M и в ориентацию, противоположную исходной ориентации M'. Аналогично $\Omega_n^O$, и $\Omega_*^O$ вводятся группы ориентированных бордизмов $\Omega_n^{SO}$ и кольцо $\Omega_*^{SO}$.

Другие варианты

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, Spin-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и h-бордизмы (ранее называемые J-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

Свойства

• Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).

История

Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер π_i(Sⁿ), и таким путём смог найти π_{n + 1}(Sⁿ) и π_{n + 2}(Sⁿ). Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим $\Omega_n^{SO}$ для $n\leqslant4$. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

Литература

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.

См. также

• h-кобордизм