Группа бордизмов


Группа бордизмов
«Штаны» — бордизм между окружностью и парой окружностей

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

Содержание

Неориентированные бордизмы

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых n-мерных многообразия M и M' бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное (n + 1)-мерное многообразие W (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий M и M', (или точнее многообразий M0 и M1 диффеоморфных, соответственно, M и M' посредством некоторых диффеоморфизмов g_0:M\to M_0 и g_1:M'\to M_1). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку (W,M0,M1) называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке (W,M0,M1,g0,g1)). Множество классов бордизмов n-мерных многообразий образует абелеву группу \Omega_n^O относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: M — ограничивающее многообразие, M — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом \Omega_n^O обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий M диффеоморфно границе прямого произведения M\times [0,1]). Прямая сумма \Omega_*^O групп \Omega_n^O является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Бордизмы с дополнительной структурой

Ориентированные бордизмы

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия M и M' ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка W ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией W на M0 и M1 (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах g0 и g1, соответственно, в исходную ориентацию M и в ориентацию, противоположную исходной ориентации M'. Аналогично \Omega_n^O, и \Omega_*^O вводятся группы ориентированных бордизмов \Omega_n^{SO} и кольцо \Omega_*^{SO}.

Другие варианты

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, Spin-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и h-бордизмы (ранее называемые J-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

Свойства

История

Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер πi(Sn), и таким путём смог найти πn + 1(Sn) и πn + 2(Sn). Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим \Omega_n^{SO} для n\leqslant4. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

Литература

  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Группа бордизмов" в других словарях:

  • УОЛЛА ГРУППА — абелева группа, к рая сопоставляется кольцу с инволюцией, являющейся антиизоморфизмом. В частности, она определена для группового кольца где фундаментальная группа пространства. Если X Пуанкаре комплекс, то в этой группе определяются препятствия… …   Математическая энциклопедия

  • КОБОРДИЗМ — кобордизмов теория, обобщенная теория когомологий, определенная спектрами пространств Тома и связанная с различными структурами в стабильном касательном или нормальном расслоении к многообразию. Теория К. двойственна (в смысле S двойственности… …   Математическая энциклопедия

  • Бордизм — «Штаны»  бордизм между окружностью и парой окружностей Бордизм, также бордантность  термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо… …   Википедия

  • Кобордизм — «Штаны»  бордизм между окружностью и парой окружностей Бордизм, также бордантность  термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм… …   Википедия

  • ПЛАТО МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА — термин, обозначающий серию задач, связанных с изучением экстремалей и глобальных минимумов функционала k мерного объема , определенного на k мерных обобщенных поверхностях, вложенных в n мерное риманово пространство М п и удовлетворяющих тем или… …   Математическая энциклопедия

  • БОРДИЗМ — бордантность, термин, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах (почти во всех из них вместо Б. раньше говорили о кобордизмах; старая терминология тоже сохранилась) . Простейший… …   Математическая энциклопедия

  • СТИНРОДА ЗАДАЧА — задача реализации циклов сингулярными многообразиями; поставлена Н. Стинродом (N. Steenrod, см. [1]). Пусть М замкнутое ориентированное многообразие (топологическое, кусочно линейное, гладкое и т. д.), и пусть его ориентация (здесь Н п (М) n… …   Математическая энциклопедия

  • Когомологии — Гомология  одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… …   Википедия

  • Когомология — Гомология  одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… …   Википедия

  • Кольцо когомологий — Гомология  одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.