Граф (теория графов)

Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами

В математической теории графов и информатике граф — это совокупность объектов со связями между ними.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Многие структуры, представляющие практический интерес в математике и информатике, могут быть представлены графами. Например, строение Википедии можно смоделировать при помощи ориентированного графа (орграф), в котором вершины — это статьи, а дуги (ориентированные рёбра) — это связи, созданные гиперссылками (см. Тематическая карта).

Содержание

1 Определения
2 Способы представления графа в информатике
3 Обобщение понятия графа
4 Литература
5 См. также
6 Ссылки

Определения

Теория графов не обладает устоявшейся терминологией. В различных статьях под одними и теми же терминами понимаются разные вещи. Приводимые ниже определения — наиболее часто встречаемые.

Граф

Граф или неориентированный граф $G$ — это упорядоченная пара $G : = (V, E)$ , для которой выполнены следующие условия:

$V$ это множество вершин или узлов,
$E$ это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) различных вершин, называемых рёбрами.

$V$ (а значит и $E$ ) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становятся ложными в случае бесконечных множеств.

Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе $| V |$ — порядком, число рёбер $| E |$ — размером графа.

Вершины $u$ и $v$ называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра $e = {u, v}$ . Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть $e = {v, v}$ .

Степенью $deg V$ вершины $V$ называют количество рёбер, для которых она является концевой (при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Ориентированный граф

Ориентированный граф (сокращённо орграф) $G$ — это упорядоченная пара $G : = (V, A)$ , для которой выполнены следующие условия:

$V$ это множество вершин или узлов,
$A$ это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v $\to$ w ведёт от вершины v к вершине w.

Смешанный граф

Смешанный граф $G$ — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой $G : = (V, E, A)$ , где V, E и A определены так же, как выше.

Понятно, что ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Прочие связанные определения

Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин $v i$ $(i=1,\ldots,k)$ , для которой все пары $(v i, v i + 1)$ $(i=1,\ldots k-1)$ являются (ориентированными) рёбрами.

Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины $u$ и $v$ являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность $(u, v, u)$ является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:

Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.
Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл.
Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).

Бинарное отношение на множестве вершин графа, заданное как «существует путь из $u$ в $v$ », является отношением эквивалентности, и, следовательно, разбивает это множество на классы эквивалентности, называемые компонентами связности графа. Если у графа ровно одна компонента связности, то граф связный. На компоненте связности можно ввести понятие расстояния между вершинами как минимальную длину пути, соединяющего эти вершины.

Всякий максимальный связный подграф графа G называется связной компонентой (или просто компонентой) графа G. Слово «максимальный» означает максимальный относительно включения, то есть не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов

Ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.

Дополнительные характеристики графов

Граф называется:

связным, если для любых вершин $u$ , $v$ есть путь из $u$ в $v$ .
сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
деревом, если он связный и не содержит простых циклов.
полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества $V 1$ и $V 2$ так, что всякое ребро соединяет вершину из $V 1$ с вершиной из $V 2$ .
k-дольным, если его вершины можно разбить на $k$ непересекающихся подмножества $V 1$ , $V 2$ , …, $V k$ так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
планарным, если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.

Также бывает:

Способы представления графа в информатике

Матрица смежности

Матрица смежности — таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа. В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).

Недостатком являются требования к памяти — очевидно, квадрат количества вершин.

Матрица инцидентности

Каждая строка соответствует определённой вершине графа, а столбцы соответствуют связям графа. В ячейку на пересечении $i$ -ой строки с $j$ -м столбцом матрицы записывается:

1: в случае, если связь $j$ «выходит» из вершины $i$ ,
−1,: если связь «входит» в вершину,
любое число, отличное от 0, 1, −1,: если связь является петлей,
0: во всех остальных случаях.

Данный способ является самым ёмким (размер пропорционален $| E | | V |$ ) и неудобным для хранения, но облегчает нахождение циклов в графе.

Список рёбер

Список рёбер — это тип представления графа в памяти, подразумевающий, что каждое ребро представляется двумя числами — номерами вершин этого ребра. Список рёбер более удобен для реализации различных алгоритмов на графах по сравнению с матрицей смежности.

Обобщение понятия графа

Простой граф является одномерным симплициальным комплексом.

Более абстрактно, граф можно задать как тройку $(V, E, \varphi)$ , где $V$ и $E$ — некоторые множества (вершин и рёбер, соотв.), а $\varphi$ — функция инцидентности (или инцидентор), сопоставляющая каждому ребру $e\in E$ (упорядоченную или неупорядоченную) пару вершин $u$ и $v$ из $V$ (его концов). Частными случаями этого понятия являются:

ориентированные графы (орграфы) — когда $\varphi(e)$ всегда является упорядоченной парой вершин;
неориентированные графы — когда $\varphi(e)$ всегда является неупорядоченной парой вершин;
смешанные графы — в котором встречаются как ориентированные, так и неориентированные рёбра и петли;
Эйлеровы графы — граф в котором существует циклический эйлеров путь (Эйлеров цикл).
мультиграфы — графы с кратными рёбрами, имеющими своими концами одну и ту же пару вершин;
псевдографы — это мультиграфы, допускающие наличие петель;
простые графы — не имеющие петель и кратных рёбер.

Под данное выше определение не подходят некоторые другие обобщения:

гиперграф — если ребро может соединять более двух вершин.
ультраграф — если между элементами $x i$ и $u j$ существуют бинарные отношения инцидентности.

Литература

Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. 336с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ore1965ru.djvu
Уилсон Р. Введение в теорию графов. Пер с англ. М.: Мир, 1977. 208с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Uilson1977ru.djvu
Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Harari1973ru.djvu
Кормен Т. М.и др. Часть VI. Алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1
Салий В. Н. Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9
Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)
Кирсанов М. Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. — 168 c. http://vuz.exponenta.ru/PDF/book/GrMaple.pdf http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kirsanov2007ru.pdf

См. также

Ссылки

Популярные программы для визуализации графов

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное

Смотреть что такое "Граф (теория графов)" в других словарях:

Теория графов — Граф с шестью вершинами и семью рёбрами Теория графов раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строго … Википедия
теория графов — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] теория графов Математическая теория, содержание которой формулируется двояко, в зависимости от трактовки ее… … Справочник технического переводчика
Теория графов — [graph theory] математическая теория, содержание которой формулируется двояко, в зависимости от трактовки ее исходного понятия граф: теоретико множественной или геометрической. В первом случае предметом теории являются графы как некие объекты,… … Экономико-математический словарь
Двудольный граф (теория графов) — Биграф Биграф, двудольный граф или чётный граф это математический термин теории графов, который обозначает множество вершин и связей между ними, таких, что если множество вершин разбить на два непересекающихся подмножества U и V, то связи будут… … Википедия
Чётный граф (теория графов) — Биграф Биграф, двудольный граф или чётный граф это математический термин теории графов, который обозначает множество вершин и связей между ними, таких, что если множество вершин разбить на два непересекающихся подмножества U и V, то связи будут… … Википедия
ТЕОРИЯ ГРАФОВ — англ. theory, graph; нем. Graphentheorie. Теория, обосновывающая способы построения графов, выражающих зависимости или связи в форме геометрических схем между различными единицами той или иной совокупности. см. ГРАФ. Antinazi. Энциклопедия… … Энциклопедия социологии
ТЕОРИЯ ГРАФОВ — одна из ветвей топологии. Графом называют геометрич. схему, представляющую собой систему линий, связывающих какие то заданные точки. Точки наз. вершинами, а связывающие их линии – ребрами (или дугами). Все задачи Т. г. могут решаться как в… … Философская энциклопедия
ТЕОРИЯ ГРАФОВ — область дискретной математики, особенностью к рой является геометрич. подход к изучению объектов. Основной объект Т.г. граф. Граф [G (V, Е)] задается множеством вершин (V) и набором (Е) неупорядоченных и упорядоченных пар вершин. Неупорядоченная… … Российская социологическая энциклопедия
Дуга (теория графов) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Цикл (теория графов) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Граф (теория графов)

Содержание

Определения