Алгоритм Евклида


Алгоритм Евклида

Алгори́тм Евкли́да — алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Содержание

История

Древнегреческие математики называли этот алгоритм ἀνθυφαίρεσις или ἀνταναίρεσις — «взаимное вычитание». Этот алгоритм не был открыт Евклидом, так как упоминание о нём имеется уже в Топике Аристотеля. В «Началах» Евклида он описан дважды — в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.

Историками математики (Цейтен и др.) было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений. Алгоритм для поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I книге древнекитайского трактата Математика в девяти книгах.

Ряд математиков средневекового Востока (Сабит ибн Курра, ал-Махани, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям) попытались построить на основе алгоритма Евклида теорию отношений, альтернативную по отношению теории отношений Евдокса, изложенной в V книге «Начал» Евклида. Согласно определению, предложенному этими авторами, четыре величины, первая ко второй и третья к четвёртой, имеют между собой одно и то же отношение, если при последовательном взаимном вычитании второй величины в обеих парах на каждом шаге будут получаться одни и те же неполные частные.

Алгоритм Евклида для целых чисел

Пусть a и b — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

 a > b > r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n

определена тем, что каждое r_k — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

a = bq_0 + r_1
b = r_1q_1 + r_2
r_1 = r_2q_2 + r_3
\cdots
r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k
\cdots
r_{n-2} = r_{n-1}q_{n-1}+ r_n
r_{n-1} = r_n q_n

Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель a и b, равен r_n, последнему ненулевому члену этой последовательности.

Существование таких r_1, r_2, ..., то есть возможность деления с остатком m на n для любого целого m и целого n\ne 0, доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

  • Пусть a = bq + r, тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).
  • НОД(0,r) = r для любого ненулевого r (т.к. 0 делится на любое целое число, кроме нуля).

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа a и b и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Пример

Для иллюстрации, алгоритм Евклида будет использован, чтобы найти НОД a = 1071 и b = 462. Для начала, от 1071 отнимем кратное значение 462, пока не получим разность меньше чем 462. Мы должны дважды отнять 462, (q0 = 2), оставаясь с остатком 147

1071 = 2 × 462 + 147.

Затем от 462 отнимем кратное значение 147, пока не получим знаменатель меньше чем 147. Мы должны трижды отнять 147 (q1 = 3), оставаясь с остатком 21.

462 = 3 × 147 + 21.

Затем от 147 отнимем кратное значение 21, пока не получим знаменатель меньше чем 21. Мы должны семь раз отнять 21 (q2 = 7), оставаясь без остатка.

147 = 7 × 21 + 0.

Таким образом последовательность a>b>R1>R2>R3>R4>...>Rn в данном конкретном случае будет выглядеть так:

1071>462>147>21


Так как последний остаток равен нулю, алгоритм заканчивается числом 21 и НОД(1071, 462)=21.

В табличной форме, шаги были следующие

Шаг k Равенство Частное и остаток
0 1071 = q0 462 + r0 q0 = 2 и r0 = 147
1 462 = q1 147 + r1 q1 = 3 и r1 = 21
2 147 = q2 21 + r2 q2 = 7 и r2 = 0; алгоритм заканчивается

Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу

Формулы для r_i могут быть переписаны следующим образом:

r_1 = a + b(-q_0)
r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)
\vdots
НОД  (a,b) = r_n = as + bt

здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

Связь с цепными дробями

Отношение a/b допускает представление в виде цепной дроби:

\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n].

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу t/s, взятому со знаком минус:

[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts.

Последовательность равенств, задающая алгоритм Евклида может быть переписана в форме


\begin{align}
\frac{a}{b} &= q_0 + \frac{r_0}{b} \\
\frac{b}{r_0} &= q_1 + \frac{r_1}{r_0} \\
\frac{r_0}{r_1} &= q_2 + \frac{r_2}{r_1} \\
& {}\  \vdots \\
\frac{r_{k-2}}{r_{k-1}} &= q_k + \frac{r_k}{r_{k-1}} \\
& {}\  \vdots \\
\frac{r_{N-2}}{r_{N-1}} &= q_N
\end{align}

Последнее слагаемое в правой части равенства всегда равно обратному значению левой части следующего уравнения. Поэтому первые два уравнения могут быть объединены в форме

\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{r_1}{r_0}}

Третье равенство может быть использовано чтобы заменить знаменатель выражения r1/r0, получим

\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{1}{q_2 + \cfrac{r_2}{r_1}}}

Последнее отношение остатков rk/rk−1 всегда может быть заменено используя следующее равенство в последовательности, и так до последнего уравнения. Результатом является цепная дробь

\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{1}{q_2 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{q_N}}}} = [ q_0; q_1, q_2, \ldots , q_N ]

В приведённом выше примере, НОД(1071, 462) было посчитано и были найдены частные qk 2,3 и 7 соответственно. Поэтому, 1071/462 может быть записана как

\frac{1071}{462} = 2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{7}} = [2; 3, 7]

Вариации и обобщения

Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов

Алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида естественным образом обобщается на кольцо многочленов k[x] от одной переменной над произвольным полем k, поскольку для таких многочленов определена операция деления с остатком. При выполнении алгоритма Евклида для многочленов аналогично алгоритму Евклида для целых чисел, получается последовательность полиномиальных остатков (PRS).

Пример для кольца Z[x]

Пусть cont(f) по определению — НОД коэффициентов многочлена f(x) из Z[x] — содержание многочлена. Частное от деления f(x) на cont(f) называется примитивной частью многочлена f(x) и обозначается primpart(f(x)).

эти определения понадобятся для нахождения НОД двух многочленов p1(x) и p2(x) в кольце Z[x]. Для многочленов над целыми числами верно следующее:

cont(НОД\{p1(x), p2(x)\}) = НОД\{cont(p1(x)), con(p2(x))\}, primpart(НОД\{p1(x), p2(x)\}) = НОД\{primpart(p1(x)), primpart(p2(x))\}.

Таким образом задача отыскания НОД двух произвольных многочленов сводится к задаче отыскания НОД примитивных полиномов.

Пусть есть два примитивных многочлена p1(x) и p2(x) из Z[x], для которых выполняется соотношение между их степенями: deg(p1(x)) = m и deg(p2(x)) = n, m > n. Деление многочленов с остатком предполагает точную делимость старшего коэффициента делимого на старший коэффициент делителя, в общем случае деление с остатком выполнить невозможно. Поэтому вводят алгоритм псевдоделения, который всё же позволяет получить псевдочастное и псевдоостаток (prem), которые будут сами по себе принадлежать множеству многочленов над целыми числами.

Под псевдоделением будем понимать, что самому делению предшествует умножение полинома p1(x) на (lc(p2(x)))^{m-n+1}, то есть lc(p2(x))^{m-n+1}p_1(x)=p_2(x)q(x)+r_2(x), \deg(r(x)) < \deg(p_2(x)), где q(x) и r(x) — соответственно псевдочастное и псевдоостаток.

Итак, p_1(x),p_2(x) \in Z[x] — (принадлежат кольцу многочленов над целыми числами), причём \deg(p_1) = n_1 \geq \deg(p_2) = n_2. Тогда алгоритм Евклида состоит из следующих шагов:

1. Вычисление НОД содержаний:

c:=НОД \{ cont(p_1),cont(p_2) \}.

2. Вычисление примитивных частей:

p_1'(x):=cont(p_1(x));  p_2'(x):=cont(p_2(x)).

3. Построение последовательности полиномиальных остатков:

p_1'(x),

 p_2'(x),

 p_3(x):=prem(p_1'(x),p_2'(x)),

 p_4(x):=prem(p_2'(x),p_3(x)),

 p_5(x):=prem(p_3(x),p_4(x)),

 ... ,

 p_h(x):=prem(p_{h-2}(x),p_{h-1}(x)).

4. Выход и возврат результата:

Если \deg(p_h(x)) = 0, то вернуть c, иначе вернуть c:=c* p_h(x).

Ускоренные версии алгоритма

  • Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является использование симметричного остатка:
r_i \equiv r_{i-2} \pmod{r_{i-1}},
где
-\frac{r_{i-1}}{2}\leq r_i\leq\frac{r_{i-1}}{2}.
  • Одна из версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии Разделяй и Властвуй позволяет уменьшить асимптотическую сложность алгоритма.

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Алгоритм Евклида" в других словарях:

  • алгоритм Евклида — Метод нахождения наибольшего общего делителя, названный так по имени древнегреческого математика, который впервые описал его в III веке до нашей эры. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN… …   Справочник технического переводчика

  • Расширенный алгоритм Евклида — Алгоритм Евклида  алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел или наибольшей общей меры двух однородных величин. Содержание 1 История 2 Алгоритм Евклида для целых чисел …   Википедия

  • Алгоритм Шенкса — (англ. Baby step giant step; также называемый алгоритм больших и малых шагов)  в теории групп, детерминированный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Для модулей специального вида данный… …   Википедия

  • Алгоритм Фюрера — (англ. Fürer’s algorithm)  быстрый метод умножения больших целых чисел. Алгоритм был построен в 2007 году швейцарским математиком Мартином Фюрером[1] из университета штата Пенсильвания как асимптотически более быстрый алгоритм, чем его… …   Википедия

  • Евклида алгоритм — Алгоритм Евклида  алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел или наибольшей общей меры двух однородных величин. Содержание 1 История 2 Алгоритм Евклида для целых чисел …   Википедия

  • Алгоритм — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгоритм (значения). Для улучшения этой статьи желательно?: Переработать оформление в соответствии с правил …   Википедия

  • АЛГОРИТМ — (алгорифм), единообразная математическая процедура ( рецепт ) для решения однотипных задач, выполняемая по строго определенным правилам. Применение алгоритма позволяет получить ответ типа да или нет на любой вопрос в классе задач, для решения… …   Энциклопедия Кольера

  • Алгоритм Монтгомери — Алгоритм Монтгомери  приём, позволяющий ускорить выполнение операций умножения и возведения в квадрат, необходимых при возведение числа в степень по модулю, когда модуль велик (порядка сотен бит). Был предложен в 1985 году Питером… …   Википедия

  • ЕВКЛИДА АЛГОРИТМ — способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков. Описан в геометрической форме Евклидом …   Большой Энциклопедический словарь

  • Евклида алгоритм — способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков. Описан в геометрической форме Евклидом. * * * ЕВКЛИДА АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА АЛГОРИТМ, способ нахождения наибольшего общего делителя двух… …   Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Алгоритм Евклида» >>


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.