Вполне непрерывный оператор


Вполне непрерывный оператор

В функциональном анализе компа́ктным (или вполне непрерывным) опера́тором называется линейный оператор A: X\to Y из банахова пространства X в банахово пространство Y такой, что всякое ограниченное подмножество в X отображается в предкомпактное множество пространства Y. Компактный оператор непременно ограничен, а значит, и непрерывен (этим оправдывается его второе название).

Свойства

  • Любой конечномерный оператор компактен. Вообще, класс компактных операторов является обобщением класса конечномерных операторов на бесконечномерные пространства.
  • Множество \mathcal{K}(X,Y) компактных операторов с естественными операциями является замкнутым подпространством в пространстве ограниченных операторов.
  • Оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар пространства X в предкомпактное множество.
  • Тождественный оператор компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен. (Это следует из теоремы Рисса о единичных шарах).
  • Если T — компактный оператор, действующий из X в X, то оператор id − T (компактное возмущение тождественного оператора) — фредгольмов оператор индекса 0.
  • Если T — компактный оператор, действующий из X в X, где Xгильбертово пространство, то он является пределом последовательности из конечномерных операторов (по операторной норме), то есть гильбертовы пространства обладают свойством аппроксимации. Произвольные банаховы пространства таким свойством могут и не обладать, см. пример Энфло.
  • Если T — компактный оператор между гильбертовыми пространствами, то имеет место теорема Шмидта.
  • Все интегральные операторы, действующие в пространстве L2 на отрезке, компактны.
  • Оператор, сопряжённый к компактному, компактен.

Примеры

Возьмём произвольную функцию g \in C[0,1]. Тогда определённый следующим образом оператор T будет компактным:

(Tf)(x) = \int\limits_0^x f(t)g(t)\,dt

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Вполне непрерывный оператор" в других словарях:

  • ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПЕРАТОР — вполне непрерывное отображение, непрерывный оператор f, действующий из одного банахова пространства X в другое пространство Y и переводящий слабо сходящуюся в Xпоследовательность в последовательность, сходящуюся по норме в Y. При этом… …   Математическая энциклопедия

  • Линейный непрерывный оператор — Линейный непрерывный оператор, действующий из в ( ) это линейное отображение из в , обладающее свойством непрерывности. Термин линейный непрерывный оператор обычно употребляют в случае, когда . Если …   Википедия

  • Непрерывный линейный оператор — Линейный непрерывный оператор дейсвтующий из X в Y( ) это линейное отображение из X в Y обладающее свойством непрерывности. Термин линейный непрерывный оператор обычно употребляют в случае, когда . Если …   Википедия

  • ОПЕРАТОР — отображение одного множества на другое, каждое из к рых наделено нек рой структурой (алгебраич. операциями, топологией, отношением порядка). Общее определение О. совпадает с определением отображения или функции: пусть Xи Y два множества;… …   Математическая энциклопедия

  • ДИАГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — оператор D, определенный на линейной оболочке базиса в нормированном (или только локально выпуклом) пространстве Xравенствами комплексные числа. Если D непрерывный оператор, то если X банахово пространство, то это условие в том и только в том… …   Математическая энциклопедия

  • НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор в гильбертовом пространстве, спектральный анализ которого не укладывается в рамки теории самосопряженных операторов и ее простейших обобщений: теории унитарных операторов и теории нормальных операторов. Н. о. возникают при… …   Математическая энциклопедия

  • СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор А*, действующий из пространства Y* и пространство X* (сильно сопряженные с локально выпуклыми пространствами Yи . соответственно), к рый строится но линейному оператору следующим образом. Пусть DA область определения оператора A …   Математическая энциклопедия

  • Линейный оператор — Линейным отображением (линейным оператором) векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (над тем же полем K) называется отображение , удовлетворяющее условию линейности f(αx + βy) = αf(x) + βf(y). для всех и …   Википедия

  • ВОЛЬТЕРРА ОПЕРАТОР — линейный вполне непрерывный оператор V, действующий в банаховом пространстве, спектр к рого состоит из нулевой точки. Напр., линейный интегральный оператор Вольтерра в пространстве функций, суммируемых с квадратом на [a, b], имеет вид Нелинейным… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — положительное отображение, 1) П. о. в гильбертовом пространстве линейный оператор А, для к рого соответствующая квадратичная форма ( Ах, х).неотрицательна. П. о. необходимо симметричен и допускает самосопряженное расширение, также являющееся П. о …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.