Волны Рэлея


Волны Рэлея

Волны Рэлеяповерхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея теоретически предсказавшего их в 1885 году[1].

Содержание

Описание

Изображение волны Рэлея.

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности, Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.[2]

Изотропное тело

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρ, уравнение движения для смещений U можно записать в виде

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm{div}\textbf{U}, (1)

где λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=Ut+Ul, где Ut=grad φ и Ul=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений[3]:

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_l}{\partial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0, (2.1)

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_t}{\partial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0. (2.2)

Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x,z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид

\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}+k_l^2\phi=0, (3.1)

\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}+k_t^2\psi=0, (3.2)

где k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)}, k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu}, — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн[4]:

\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)], (4.1)

\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)], (4.2)

где q^2=k^2-k_l^2; s^2=k^2-k_t^2; k^2>k_t^2>k_l^2; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представлют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде

U_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial z}, (5.1)

U_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \psi}{\partial x}. (5.1)

Из закона Гука компоненты тензора напряжений

T_{zz}=\lambda\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)+2\mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0, (6.1)

T_{xz}=\lambda\left(2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}\right)=0. (6.2)

После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имееет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно[5]

\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0, (6)

где \eta=k_t/k, \xi=k_l/k_t. Это уравнение имеет единственный корень относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:

\eta_R=\frac{0,87+1,12\nu}{1+\nu}. (7)

Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны[6]:

U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right], (8.1)

U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[i\left(k_Rx-\omega t\right)\right]. (8.2)

Примечания

Литература

  • Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Волны Рэлея" в других словарях:

  • Волны Рэлея — (по имени английского физика Дж. У. Рэлея (См. Рэлей))         вид упругих волн (См. Упругие волны), распространяющихся вблизи свободной границы твёрдого тела и затухающих с глубиной …   Большая советская энциклопедия

  • уравнение волны Рэлея — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Rayleigh wave equation …   Справочник технического переводчика

  • РЭЛЕЯ ВОЛНЫ — упругие волна, распространяющиеся в тв. теле вдоль его свободной границы и затухающие с глубиной. Их существование было предсказано англ. физиком Дж. У. Рэлеем (J. W. Rayleigh) в 1885. Примеры Р. в. волны на земной поверхности, возникающие при… …   Физическая энциклопедия

  • Рэлея волны — Типичное ПАВ устройство, используемое, например, в качестве полосового фильтра[1]. Поверхностная волна генерируется слева через приложение переменного напряжения через проводники, изготовленные печатным методом. При этом электрическая энергия… …   Википедия

  • РЭЛЕЯ ЗАКОН — рассеяния света: интенсивность упруго рассеянного света пропорциональна 4 (l длина световой волны) благодаря чему голубые и фиолетовые лучи рассеиваются сильнее, нежели красные. Этим объясняется голубой цвет неба. Установлен Дж. У. Рэлеем в 1871 …   Большой Энциклопедический словарь

  • РЭЛЕЯ ЗАКОН — рассеяния света, гласит, что интенсивность I рассеиваемого средой света обратно пропорц. 4 й степени длины волны l падающего света (I =l 4) в случае, когда среда состоит из частиц диэлектриков, размеры к рых много меньше К. Установлен Дж. У.… …   Физическая энциклопедия

  • РЭЛЕЯ ДИСК — прибор для абсолютного измерения колебательнойскорости частиц в акустич. волнах, распространяющихся в газах и жидкостях …   Физическая энциклопедия

  • Рэлея волны —         упругие возмущения, распространяющиеся в твёрдом теле вдоль его свободной границы и затухающие с глубиной. Их существование было предсказано Дж. У. Рэлеем (См. Рэлей) в 1885. Примеры Р. в. волны на земной поверхности, возникающие при… …   Большая советская энциклопедия

  • Рэлея - Джинса закон излучения — Закон Релея Джинса закон излучения Рэлея Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о… …   Википедия

  • Рэлея закон — рассеяния света: интенсивность упруго рассеянного света пропорциональна λ 4 (λ  длина световой волны), благодаря чему голубые и фиолетовые лучи рассеиваются сильнее, чем красные (этим объясняется голубой цвет неба). Установлен Дж. У. Рэлеем в… …   Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Волны Рэлея» >>