Вогнутая функция


Вогнутая функция
Функция(её график выделен синим) выпукла тогда и только тогда когда область над её графиком (закрашено зеленым) является выпуклым множеством.

В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), если для любых двух точек x, y из этого интервала и для любого числа t, принадлежащего отрезку [0,1], выполняется неравенство

f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y).

Если это неравенство является строгим для всех t из интервала (0,1), функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

Свойства выпуклых функций

  • Функция f, выпуклая на интервале C, непрерывна на всём C и дифференцируема на всём C за исключением, быть может, счётного множества точек.
  • Непрерывная функция f выпукла на C тогда и только тогда, когда для всех точек x и y, принадлежащих C, выполняется неравенство
    f\left( \frac{x+y}2 \right) \le  \frac{f(x)+f(y)}2 .
  • Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
  • Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция f(x)=x4 строго выпукла на [-1,1], но её вторая производная в точке x=0 равна нулю).
  • Если функции f, g выпуклы, то любая их линейная комбинация a f+b g с положительными коэффициентами a, b также выпукла.
  • Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
  • Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:
    f\left(E(X)\right) \leq E(f(X)),
где Xслучайная величина со значениями в области определения функции f, Eматематическое ожидание.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Вогнутая функция" в других словарях:

  • ВОГНУТАЯ ФУНКЦИЯ — функция, противоположная по знаку выпуклой функции …   Математическая энциклопедия

  • Квазивыпуклая функция — Квазивыпуклая функция, не являющаяся выпуклой Функция, не являющаяся кваз …   Википедия

  • ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ — функция, используемая при решении задач на условный экстремум функций многих переменных и функционалов. С помощью Л. ф. записываются необходимые условия оптимальности в задачах на условный экстремум. При этом не требуется выражать одни переменные …   Математическая энциклопедия

  • Выпуклая функция — Выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зеленым. Выпуклая функция  функция, у которой надграфик является выпуклым множеством …   Википедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА — математическая дисциплина, предметом к рой являются модели экономич. объектов и процессов и методы их исследования. Однако понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономич. происхождением, интерпретацией и… …   Математическая энциклопедия

  • МАРЦИНКЕВИЧА ПРОСТРАНСТВО — банахово пространство My всех измеримых на полуоси функций (классов) с конечной нормой где х*(s) перестановка функции x(t), т. е. невозрастающая непрерывная слева функция, равноизме рпмая с |x(t)|, а y(t) нек рая положительная неубывающая на… …   Математическая энциклопедия

  • Выпуклость, вогнутость — [convexity, concavity]. В математике рассматриваются, во первых, выпуклые области (или, что то же самое в теории множеств выпуклые множества); во вторых, выпуклые функции. 1) Выпуклая область на плоскости часть плоскости, обладающая тем свойством …   Экономико-математический словарь

  • выпуклость, вогнутость — В математике рассматриваются, во первых, выпуклые области (что то же самое в теории множеств выпуклые множества); во вторых, выпуклые функции. 1. Выпуклая область на плоскости часть плоскости, обладающая тем свойством, что отрезок, соединяющий… …   Справочник технического переводчика

  • НАДЕЖНОСТИ ТЕОРИЯ — инженерное направление применении математич. методов, в к ром разрабатываются: а) приемы расчета надежности технич. систем, 0) методы оценки надежности изготовленных изделий, в) способы оптимизации и повышения эффективности функционирования… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ — уравнение вида где A0(t), A1(t).при каждом t линейные операторы в банаховом пространстве Е, g(t) заданная, a u(t) искомая функции со значениями в Е;производная ипонимается как предел по норме Еразностного отношения. 1. Линейное дифференциальное… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.