Аналитическое продолжение

В комплексном анализе аналитическим продолжением функции $f(z)$, определённой на множестве $C$, называется аналитическая функция, которая:

• определена на более широком множестве $D$, содержащем $C$;
• в области $C$ совпадает с исходной функцией $f(z)$.

Автором данного термина и базового метода аналитического продолжения является Карл Вейерштрасс (начиная с 1842 года).

Определение

Задача нахождения аналитического продолжения функции, определённой на некотором множестве, заключается в таком распространении определения этой функции на возможно более широкую область, при котором она была бы аналитической и в новой области. Простейшим примером аналитического продолжения может служить переход от функций действительного переменного (то есть функций, определённых только на действительной оси) к функциям комплексного переменного, аналитическим во всей (или почти во всей) плоскости и совпадающим с соответствующими функциями действительного переменного при действительных значениях аргумента.

Для каждой конкретной аналитической функции существование и единственность аналитического продолжения определяются теоремой единственности

Элементарные методы

Для самых элементарных функций, таких, как степенная функция и экспонента, аналитическое продолжение осуществляется практически напрямую. Это связано с тем, что аналитическое продолжение в таких случаях осуществляется с множества весьма специфического вида, которым является вещественная прямая — это множество не имеет внутренних точек.

Для более сложных случаев применяются более искусственные приемы. Например, рассмотрим некоторый сходящийся в круге $\Delta_a=\{z\colon|z-a|<\rho\}$ ряд Тейлора, где $\rho$ — радиус сходимости этого ряда. Согласно одному из эквивалентных определений, таким образом получена аналитическая в круге $\Delta_a$ функция $f(z)$. Что это значит? Это не значит, что в любой точке за пределами $\Delta_a$ полученная функция уже не будет аналитической, это в данный момент неизвестно, это просто значит, что существует точка $z_0\colon|z_0-a|=\rho$ такая, что ряд в этой точке расходится. Однако можно выбрать некоторую точку $b\in\Delta_a$ — так как в этой точке функция $f(z)$ аналитична, то её можно разложить в ряд, сходящийся в некотором круге $\Delta_b=\{z\colon|z-b|<\theta\}$. Если для нового радиуса сходимости $\theta$ выполнено соотношение $\theta>\rho-|a-b|$, то уже будут существовать точки, принадлежащие $\Delta_b$, но не принадлежащие $\Delta_a$, а из этого в силу теоремы единственности будет следовать, что функция, определенная изначально только в $\Delta_a$, продолжена на некоторое большее множество, а именно на $\Delta_a\cup\Delta_b$. В случае, если такое невозможно, то окружность $\partial\Delta_a$ будет естественной границей аналитического продолжения. Дальнейшее развитие этого метода приведет нас к основополагающему понятию ростка.

Далее, для многих специальных функций аналитическое продолжение осуществляется с помощью некоторого функционального уравнения. Берется некоторая область, в которой решение этого уравнения заведомо аналитично, и осуществляется перенос результатов на большую область. В основном таким способом строятся продолжения специальных функций вещественного анализа — например, гамма-функции и дзета-функции Римана.

Построение аналитического продолжения

Приведенные выше построения являются интуитивно понятными — это их сила и это их слабость. Элементарная теория оправдывает себя лишь в случае взаимно однозначных отображений, образующих малый подкласс аналитических функций. Строгое построение требует введения массы дополнительных понятий.

Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей

Теперь мы будем отталкиваться уже не от понятия аналитической функции, а от более чёткого определения аналитического элемента.

Элементы $P=(G,f)$ и $Q=(H,g)$ называются аналитическим продолжением друг друга через цепочку областей $\{\Delta\}_1^n$, если существует последовательность элементов $P_k=(G_k,f_k),\,k=0,1,\dots,n$ и выполняются следующие три условия:

1. $P_0=P,\,P_n=Q$;
2. Для произвольных последовательных областей из цепочки их пересечение $D_k\cap D_{k+1}$ непусто и $\Delta_k$ — определенная его связная компонента;
3. Элемент $P_{k+1}$ является аналитическим продолжением $P_k$ через множество $\Delta_k$.

Мы снова вернулись к понятию ростка. Действительно, теперь росток можно рассматривать как аналитический элемент, состоящий из круга сходимости и собственно аналитической функции — суммы ряда. Такого вида элементы будут использоваться далее, они имеют собственное название — канонические элементы и обозначения, заимствованные от аналитических элементов, а не от ростков. Обозначаться канонические элементы будут в виде $(K,f)$, где $K$ — круг сходимости ряда, а $f$ — его сумма. Центром канонического элемента называется центр круга сходимости определяющего его ряда.

Аналитическое продолжение вдоль пути

Построение продолжения относительно цепочки областей дискретно. В некотором роде в теории аналитического продолжения нам сейчас нужно осуществить переход, который равносилен переходу от последовательности к функции.

Рассмотрим канонический элемент $P_0=(K_0,f_0)$ с центром в точке $z=z_0$ и некоторую непрерывную жорданову кривую $\varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C$, обладающую свойством $z_0=\varphi(0)$. Для краткости обозначим $\Gamma=\varphi([0;1])$.

Предположим, что существует семейство канонических элементов $\{P_t\}_{t\in[0;1]}$ с ненулевыми радиусами сходимости, такое, что $\varphi(t)$ — центр элемента $P_t$ и для произвольного $t_0\in[0;1]$ существует такая окрестность ${\mathcal U}_{t_0}\subset[0;1]$ (понимаемая в смысле окрестностей на вещественной прямой), удовлетворяющая условию $\varphi({\mathcal U}_{t_0})\subset K_{t_0}$; тогда, если для любого $t\in{\mathcal U}_{t_0}$ элемент $P_t$ является непосредственным продолжением элемента $P_{t_0}$, то считается, что элемент $P_0$ таким образом аналитически продолжается вдоль пути $\Gamma$.

Выбирать семейство областей можно произвольным образом, так как можно доказать, что результат аналитического продолжения не зависит от выбора семейства областей.

Достаточно интересным свойством обладает также функция $R(t)\colon[0;1]\to(0;+\infty)$ — радиус круга сходимости $K_{t}.$. Для семейства, упомянутого в определении продолжения вдоль пути, функция $R(t)$ будет непрерывна в смысле вещественного анализа на $[0;1]$.

Собственно, осталось связать определение аналитического продолжения через цепочку областей и аналитического продолжения вдоль пути. Это очень просто. Допустим, что канонический элемент $Q$ получен из элемента $P$ путем аналитического продолжения вдоль некоторого пути $\varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C$ через промежуточное семейство элементов $\{P_t\}_{t\in[0;1]}$. Тогда, если выбрать некоторую возрастающую последовательность $0,t_1,t_2,\dots,t_n,1$ элементов отрезка $[0;1]$, где круги $K_k$ и $K_{k+1}$ будут пересекаться, то элемент $Q=P_1$ будет аналитическим продолжением элемента $P=P_0$ через цепочку областей $K_{t_1},K_{t_2},\dots,K_{t_n}$.

Одним из самых интересных результатов будет теорема о гомотопической инвариантности аналитического продолжения и её следствие — теорема о монодромии.

Полная аналитическая функция

Развив аппарат аналитического продолжения вдоль путей, теперь можно перейти от изначальной аналитической функции через аналитические и канонические элементы к более общему понятию — полной аналитической функции. Таким термином будет обозначаться совокупность всех канонических элементов, получаемых из какого-либо первоначального элемента $P$ методом аналитического продолжения относительно всех возможных жордановых кривых, допускающих такое продолжение и берущих начало в точке $z_0$ — центре элемента $P$.

Немного проясняет внутреннее устройство такого весьма абстрактного понятия теорема Пуанкаре — Вольтерры, гласящая, что в каждой точке своей области определения полная аналитическая функция может иметь не более чем счетное множество элементов с центром в этой точке.

Важность понятия полной аналитической функции состоит в том, что оно позволяет с более общей точки зрения изучить понятие особой точки. А именно, особые точки для полной аналитической функции — просто точки границы области её определения. В зависимости от поведения функции в окрестности этих точек определяется их характер.

Рассмотрим некоторую особую точку $z_0$ для полной аналитической функции $\mathbf f$ и некоторую её проколотую окрестность $\dot{\mathcal U}_{z_0}$, принадлежащую области определения $\mathbf f$. Теперь выберем какую-нибудь замкнутую жорданову кривую $\Gamma\subset \dot{\mathcal U}_{z_0}$. Если аналитическое продолжение вдоль кривой $\Gamma$ приводит к тому же элементу, то точка называется особой точкой однозначного характера и интерпретируется, как просто изолированная особая точка; если же результатом аналитического продолжения будет уже другой элемент, то точка называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления.

Теорема Адамара

Основная статья: Теорема Адамара о лакунах

Для степенного ряда

$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k$,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов $k(i)$ удовлетворяет

$\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,$

для некоторого фиксированного δ > 0, круг с центром z₀ и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также

• Сужение и продолжение функции
• Комплексный анализ
• Принцип непрерывности
• Принцип симметрии Шварца
• Теорема Боголюбова «об острие клина»
• Теорема о монодромии

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.