Вектор (математика)

Вектор $\overrightarrow{AB}$

У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор.

Ве́ктор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Понятие вектора в абстрактной алгебре

Пусть $\mathfrak F= \langle F;+,* \rangle$ — некоторое поле с аддитивной операцией +, мультипликативной операцией *, аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Пусть $\mathfrak V= \langle V;+ \rangle$ — некоторая абелева группа с единицей $\mathbf 0$. Если существует операция $F \times V \to V$, такая что для любых $a,b \in F$ и для любых $\mathbf x ,\mathbf y \in V$ выполняются соотношения:

1. $(a+b)\mathbf x=a\mathbf x + b\mathbf x$,

2. $a(\mathbf x + \mathbf y )=a\mathbf x + a\mathbf y$,

3. $(a*b)\mathbf x = a(b\mathbf x )$,

4. $1\mathbf x =\mathbf x$,

тогда $\mathfrak V$ называется векторным пространством над полем $\mathfrak F$, элементы V называются векторами, элементы F — скалярами, а указанная операция $F \times V \to V$ — умножением вектора на скаляр.

Понятие вектора в стандартном евклидовом n-мерном пространстве

Вектор в арифметическом n-мерном пространстве
Является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре. Если в качестве $\mathfrak F= \mathfrak R = \langle R;+,* \rangle$ взять поле действительных чисел с операциями сложения и умножения. $\mathfrak V=\mathfrak R^n= \langle R^n;+ \rangle$, где $R^n$ — декартова степень множества R; для $\mathfrak V$ операцию «+» зададим следующим образом: $(a_1,...,a_n)+(b_1,...,b_n)=(a_1+b_1,...,a_n+b_n)$, нейтральный элемент: $\mathbf 0$=(0,…,0), обратный элемент: $-(a_1,...,a_n)=(-a_1,...,-a_n)$; операцию умножения на скаляр: $a(a_1,...,a_n)=(a*a_1,...,a*a_n)$. Тогда вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из действительных чисел является арифметическим вектором векторного пространства $\mathfrak R^n$ над полем действительных чисел $\mathfrak R$.

n-мерное пространство задается как $R^n$ — декартова степень множества действительных чисел, точка — как кортеж $(a_1,...,a_n)$ длины n из действительных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек.

Вектор в планарной евклидовой геометрии (связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве.

Прямая, на которой лежит ненулевой вектор $\mathbf a$ с началом в точке $M_0=(m_1,...,m_n)$, заданный свободным вектором с пространственными координатами $(a_1,...,a_n)$ — множество точек $(x_1,...,x_n)$, удовлетворяющее условию:

$\frac{x_1-m_1}{a_1}=\frac{x_2-m_2}{a_2}=...=\frac{x_n-m_n}{a_n}$

Отрезок MN — множество всех точек O(удовлетворяющих условию $min(x_{i_M},x_{i_N}) \leqslant x_{i_O} \leqslant max(x_{i_M},x_{i_N}), 1 \leqslant i \leqslant n$), все различные точки которого принадлежат одной прямой, точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введение скалярного произведения, угла и длины вектора, задающей расстояние между двумя точками как расстояние между начальной и конечной точками вектора(как показано ниже([1], [2], [3])) векторное пространство $R^n$ становится евклидовым нормированным пространством и при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства; при n=2 — плоскости этого пространства; при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю; при n=0 существует только одна точка(задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор; пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение определяется по формуле: $\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$, [1]
(где $a_i,b_i$ — пространственные координаты векторов $\mathbf a,\mathbf b$)

Длина вектора: $|\mathbf a|=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} {X_i}^2 }$, [2]
(где $X_i$ — пространственные координаты вектора.)

Угол между двумя векторами $\mathbf a,\mathbf b$(где $a_i,b_i$ — пространственные координаты векторов $\mathbf a,\mathbf b$) определяется через скалярное произведение:
$\cos \theta = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{|\mathbf a||\mathbf b|}$, [3]

Вектор в линейном пространстве

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис $\vec{e_1},...,\vec{e_n}\in L$, то $\forall \vec{x}\in L \exists \alpha_1,..,\alpha_n\in F: \vec{x} = \sum_{i=1}^n\alpha_i \vec{e_i}$, где $F$ — это поле, над которым определенно линейное пространство $L$.

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис $\vec{e_1},...,\vec{e_n}$ и $\vec{f_1},...,\vec{f_n}$. Причём: $\vec{e_i} = \sum_{j=1}^n p_{ij} \vec{f_j}$. Матрица $P_{ef}$, полученная из коэффициентов $p_{ij}$ называться матрицей перехода от базиса $e$ к базису $f$ и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: $\vec{x_e}= P_{ef} \vec{x_f}$. Связь между матрицами перехода между двумя базисами: $P_{ef} = P_{fe}^{-1}$. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис $\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n$ и в нём представлены вектора $\vec{a}=\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i$, $\vec{b} = \sum_{i=1}^n \beta_i\vec{e}_i$, тогда суммой векторов $\vec{a} + \vec{b}$ будет называется следующий вектор: $\vec{a} + \vec{b} = \sum_{i=1}^n (\alpha_i+\beta_i)\vec{e}_i$.
Пусть есть число $\lambda$, тогда произведением вектора $\vec{a}$ на число $\lambda$ будет называться следующий вектор: $\lambda \vec{a} = \sum_{i=1}^n (\lambda \alpha_i) \vec{e_i}$
Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если $\exists \lambda \not= 0: \vec{a} = \lambda \vec{b}$.

Евклидовы и нормированные пространства

Основная статья: Евклидово пространство

Основная статья: Нормированное пространство

Функция $(\vec{a},\vec{b})$ (в другом обозначении $\vec{a}\cdot\vec{b}$), ставящая любым двум векторам $\vec{a}, \vec{b}$ в соответствие число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. Линейность по первому аргументу: $(\alpha\vec{a}_1+\beta \vec{a}_2,\vec{b}) = \alpha (\vec{a}_1,\vec{b}) + \beta (\vec{a}_2,\vec{b}) \forall \alpha, \beta \in F$
2. Эрмитова симметричность: $(\vec{a},\vec{b}) = \overline{(\vec{b},\vec{a})}$ (в случае если векторы определены над полем действительных чисел, то $(\vec{a},\vec{b}) = (\vec{b},\vec{a})$)
3. Положительная определённость: $\forall\vec{a} (\vec{a},\vec{a})\ge 0, (\vec{a},\vec{a}) = 0$ тогда и только тогда, когда $\vec{a} = 0$ ,

называется скалярным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$. Конечномерное линейное пространство с введённым скалярным произведением называется евклидовым. Для пространств над полем комплексных чисел иногда применяют термин унитарное пространство.

Два ненулевых вектора $\vec{a}, \vec{b}$ называются ортогональными, если $(\vec{a},\vec{b}) = 0$.
Базис $\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n$ евклидова пространства называется ортогональным, если $\forall i,j (i \not = j) (\vec{e_i},\vec{e_j}) = 0$. Базис называется ортонормированным, если $(\vec{e_i},\vec{e_j}) = \delta_{ij}$, где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера.

Скалярное произведение является билинейной формой, поэтому его можно записать в следующем виде:
$(\vec{a},\vec{b}) = \vec{a}^TA_e\vec{b}$, где $A_e$ — матрица Грамма.
В случае ортонормированного базиса матрица будет единичной, и тогда, если $\vec{a}=\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i$, $\vec{b} = \sum_{i=1}^n \beta_i\vec{e}_i$, то
$(\vec{a},\vec{b}) =\sum_{i=1}^n \alpha_i\beta_i$ в случае действительного пространства и $(\vec{a},\vec{b}) =\sum_{i=1}^n \alpha_i\overline{\beta_i}$ в случае комплексного.

Так же в линейном пространстве можно ввести понятие нормы. Это функция, ставящая в соответствие любому вектору линейного пространства неотрицательное вещественное число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. $\|\vec{x}\|\ge 0 \forall \vec{x} \in L, \|\vec{x}\|=0$ тогда и только тогда, когда $\vec{x} = \vec{0}$.
2. $\|\alpha \vec{x}\|=|\alpha|\|\vec{x}\| \forall \alpha \in F, \forall \vec{x} \in L$.
3. $\|\vec{x+y}\|\leqslant \|\vec{x}\|+\|\vec{y}\| \forall \vec{x},\vec{y} \in L$.

Угол $\phi$ между векторами $\vec{a}, \vec{b}$ определяется, как $cos\phi = \frac{(\vec{a},\vec{b})}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}$
.

Геометрическая интерпретация

Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек (или направленный отрезок), одна из которых называется началом, вторая — концом вектора. Операция сложения вводится по правилу треугольника: пусть есть векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Операция умножения вектора на число вводится следующим образом: пусть есть вектор $\vec{a}$ и число $\lambda$, тогда вектор $\lambda \vec{a}$ получается изменением длины вектора $\vec{a}$ в $\lambda$ раз. Направление вектора сохраняется, если $\lambda > 0$ и меняется, если $\lambda < 0$.

Нулевой вектор — такой, начало которого совпадает с его концом.

Противоположным данному называется вектор, начало которого совпадает с концом данного, а конец с началом данного (то есть такой, сумма которого с данным дает нулевой вектор).

Два геометрических вектора называются ортогональными, если они (как направленные отрезки) перпендикулярны друг другу.

Норма геометрического вектора определяется как длина соответвующего ему отрезка. Чаще всего называется модулем вектора и обозначается как $|\vec{a}|$.

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или — одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Иными словами, подразумевается, что свободный вектор может быть перенесен (параллельным переносом) как угодно (так, чтобы его начало совпало с любой точкой пространства), однако не перестает от этого быть собой. Скользящий же вектор может так же свободно переноситься только вдоль прямой, на которой он лежит, а фиксированный вообще не может переноситься. То есть его приложение к другой точке не имеет смысла; в частности любые операции, такие как сложение или вычитание, фиксированного вектора с фиксированным вектором, имеющим другое начало («приложенным к другой точке») не определены (не имеют смысла).

• Важно заметить, что все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами итд) в принципе определены одинаково для всех типов векторов (свободных, скользящих или фиксированных), различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено — или лишено смысла — сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена — или имеет смысл — она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса итп), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).

Можно дать такие строгие определения:

Говорят, что свободные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если найдутся точки $E$ и $F$ такие, что четырёхугольники $ABFE$ и $CDFE$ — параллелограммы.

• Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки $A, B, C, D$ располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Говорят, что свободные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$, не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник $ABDC$ — параллелограмм.

Говорят, что скользящие векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если

• точки $A, B, C, D$ располагаются на одной прямой,
• векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

• Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно никакой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Говорят, что фиксированные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если попарно совпадают точки $A$ и $C$, $B$ и $D$.

Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Операции над векторами

Сложение

Операцию сложения геометрических векторов можно определить несколькими в принципе эквивалентными способами, каждый их которых однако может быть удобнее или естественнее в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов. Так, правило треугольника наиболее простое и геометрически фундаментальное, удобно для сложения любого количества векторов, однако правило параллелограмма более удобно для фиксированных или скользящих векторов, так как не требует переноса второго слагаемого (что в принципе могло бы смущать или запутывать в этих случаях) для построения суммы, то есть удобно для сложения векторов с началом в одной точке, в добавок имея то преимущество, что в нем более очевидно равноправие слагаемых; координатное же определение, являясь простым и удобным, бывает очень полезно для вычислений.

Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной: начало второго вектор совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д., сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение векторов с использованием координат. Каждая координата (см. Базис и разложение по базису) суммы векторов есть сумма соответствующей координаты всех (двух или более) суммируемых векторов. Например, для двумерного случая:

$(\vec a + \vec b)_x = a_x + b_x,$

$(\vec a + \vec b)_y = a_y + b_y.$

(Могут быть использованы прямоугольные или косоугольные координаты; правило сложения остаются одинаковыми для обоих этих типов координат).

• Модуль (длину) вектора суммы $\vec{u} + \vec{v}$ можно вычислить, например, используя теорему косинусов $|\vec u+\vec v|=\sqrt{|\vec u|^2+|\vec v|^2-2|\vec u|\cdot |\vec v|\cdot \cos \beta},$ где $\beta\,$ — угол между отрезками, изображающими данные векторы, когда начало одного вектора совпадает с концом другого. Или: $|\vec u+\vec v|=\sqrt{|\vec u|^2+|\vec v|^2+2|\vec u|\cdot |\vec v|\cdot \cos \alpha},$ где $\alpha\,$ — угол между векторами (выходящими из одной точки).

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные векторы. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы $\vec{c}$ и $-\vec{c}$, расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$, $\vec{b}$ и $-\vec{c}$ пересекаются. Поэтому определены векторы

$\vec{a}'=\vec{a}+\vec{c}, \quad \vec{b}'=\vec{b}-\vec{c}$

Прямые, на которых расположены векторы $\vec{a}'$ и $\vec{b}'$, пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно понимать сумму векторов $\vec{a}'$ и $\vec{b}'$, и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не образуют пару.

Вычитание

Операция вычитания из вектора $\vec a$ вектора $\vec b$ сводится к сложению первого вектора и вектора, противоположного второму:

$\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b).$

(Само сложение при этом осуществляется так, как описано в параграфе выше, пользуясь, если это удобно, любым из приведенных там альтернативных способов).

Однако легко видеть, что из правила треугольника можно получить и отдельное геометрическое определение разности. Для этого достаточно посмотреть на чертеж, иллюстрирующий сложение по правилу треугольника и осознать, что разность векторов $\vec a + \vec b$ и $\vec a$ на этом чертеже есть вектор $\vec b.$ Отсюда прямо формулируется правило треугольника для вычитания векторов:

разность двух векторов с общим началом (или перенесенных параллельно так, чтобы начала совпали) есть вектор с началом, совпадающим с концом вычитаемого и концом, совпадающим с концом уменьшаемого.

Это правило также может быть удобным.

Скалярное произведение

Основная статья: Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как

$(\vec{a},\vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|cos(\varphi).$

Скалярное произведение любого вектора $\vec{a}$ и какого-то единичного вектора $\vec{e}$ есть проекция (ортогональная проекция) вектора $\vec{a}$ на направление этого единичного вектора:

$(\vec{a},\vec{e}) = \mathrm{Pr_e}(\vec{a}).$

Легко видеть, что скалярное произведение может быть записано через операцию (ортогонального) проецирования:

$(\vec{a},\vec{b}) = |\vec{a}| \mathrm{Pr_a}(\vec{b}) = |\vec{b}| \mathrm{Pr_b}(\vec{a})$

(где $\mathrm{Pr_a}(\vec{b})$ — проекция вектора $\vec{b}$ на направление $\vec{a}$, $\mathrm{Pr_b}(\vec{a})$ — проекция вектора $\vec{a}$ на направление $\vec{b}$).

• В абстрактном подходе обычно сперва вводят скалярное произведение, а уже через него определяют понятие угла, ортогональность, ортогональную проекцию.

Векторное произведение

Основная статья: Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора $\vec{c}$ равна произведению длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на синус угла φ между ними

$\left| \vec c \right| = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin \varphi$

• вектор $\vec{c}$ ортогонален каждому из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$
• вектор $\vec{c}$ направлен так, что тройка векторов $\vec{a}\vec{b}\vec{c}$ является правой.

Обозначение: $\vec c = \left[ \vec a \vec b \right] = \left[ \vec a, \vec b \right] = \vec a \times \vec b$

Геометрически векторное произведение $\vec a \times \vec b$ есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec a, \vec b$, представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е $\vec a \times \vec b = -(\vec b \times \vec a)$
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть $\lambda(\vec a \times \vec b) = (\lambda \vec a) \times \vec b = \vec a \times (\lambda \vec b)$
3. Векторное произведение обладает распределительным свойством: $(\vec a + \vec b) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c$

Геометрическая интерпретация смешанного произведения.

Смешанное произведение

Основная статья: Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )$ векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — скалярное произведение вектора $\vec{a}$ на векторное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \left(\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]\right) = \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)$

(равенство здесь записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения, часто встречающихся в литературе).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение $( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )$ есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

То есть абсолютная величина его есть просто объем этого параллелепипеда (в общем случае — косоугольного), а знак определяется тем, представляют ли векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ правую тройку (тогда плюс) или левую (тогда минус). Иногда при использовании левого базиса знак может быть определен противоположным образом.

Базис и разложение по базису

Разложение вектора по трём ортогональным векторам трёхмерного евклидова пространства

Векторы (как направленные отрезки), лежащие на прямых, параллельных одной прямой, называются коллинеарными, а векторы, лежащие в плоскостях, параллельных одной плоскости — компланарными. Для свободных векторов коллинеарность и компланарность определяется как такие понятия для изображающих их направленных отрезков (то есть представителей соответствующих свободным векторам классов эквивалентности).

Каждый вектор плоскости можно единственным образом разложить по двум определённым неколлинеарным векторам этой плоскости, а каждый вектор трёхмерного евклидова пространства можно единственным образом разложить по трём определённым некомпланарным векторам. Эти векторы, взятые в определённом порядке называются базисом плоскости (пространства). Сопоставлением каждому вектору данной плоскости (пространства) его коэффициентов в таком его разложении, определяется аффинная система координат на плоскости (в пространстве). Если векторы, по которым производится разложение, ортогональны и единичны, то получаем прямоугольную декартову систему координат на плоскости (в пространстве). Разложение геометрического вектора по базису есть упорядоченная совокупность проекций вектора на базисные вектора.

Обозначения

Вектор, представленный набором $n$ элементов (компонент) $a_1, a_2, \ldots, a_n$ допустимо обозначить следующим способами:

$\langle a_1, a_2, \ldots, a_n\, \rangle,\ \left ( a_1, a_2, \ldots, a_n\, \right )$.

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

$\bar a,\ \vec a, \mathbf a, \mathfrak A,\ \mathfrak a.$

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

$\vec{a} + \vec{b}$.

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

$k \vec{b}$,

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Вектор как последовательность

Вектор — (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

С другой стороны, многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

История

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.

См. также

• Векторная величина
• Векторное поле
• Векторное пространство
• Векторный анализ
• Нулевой вектор
• Псевдовектор
• Радиус-вектор
• Тензор

Литература

• Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Вектор (математика)