Вариация Харди

Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.

Определение

Пусть имеется функция $f(x)=f(x_1,\;\ldots,\;x_n),\;n=2,\;3,\;\ldots$, заданная на $n$-мерном параллелепипеде

$D_n=[a_1,\;b_1]\times[a_2,\;b_2]\times\ldots\times[a_n,\;b_n].$

Зададимся произвольным разбиением $\pi$ параллелепипеда гиперплоскостями

$x_s=x_s^{(r_s)},\quad r_s=0,\;1,\;2,\;\ldots,\;l_s;\;s=1,\;2,\;\ldots,\;n,$

$x_s^{(r_s)}<x_s^{(r_s+1)},\;x_s^{(0)}=a_s,\;x_s^{(l_s)}=b_s,\;h_s^{(r_s)}=x_s^{(r_s+1)}-x_s^{(r_s)}$

на $n$-мерные параллелепипеды.

Рассмотрим класс $\tilde H_n$ всех функций, для которых

$\tilde H_n=\sup_\pi\sum_{r_1=0}^{l_1-1}\sum_{r_2=0}^{l_2-1}\ldots\sum_{r_n=0}^{l_n-1}\left|\Delta_{h_1^{(r_1)}h_2^{(r_2)}\ldots h_n^{(r_n)}}(f;\;x_1^{(r_1)},\;x_2^{(r_2)},\;\ldots,\;x_n^{(r_n)})\right|<\infty,$

где

$\Delta_{h_1h_2\ldots h_n}(f;\;x)=\Delta_{h_k}(\Delta_{h_1h_2\ldots h_{k-1}};\;x),\quad k=2,\;3,\;\ldots,\;n;$

$\Delta_{h_k}(f;\;x)=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k+h_k,\;\ldots,\;x_n)-$

$-f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k,\;\ldots,\;x_n),\quad\;k=1,\;2,\;\ldots,\;n.$

Пусть, теперь, $\alpha=(\alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_s),\;s=1,\;2,\;\ldots,\;n-1$ — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам $1\leqslant\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_s\leqslant n$, и $\bar\alpha$ — целочисленный вектор размерности $n-s$ такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел $1,\;2,\ldots,\;n$, которые не содержатся среди чисел $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\ldots,\;\alpha_s$. Тогда каждую точку $x\in D_n$ можно записать в виде $x=(x^\alpha,\;x^{\bar\alpha})$. Если координаты $x_{\alpha_1},\;x_{\alpha_2},\;\ldots,\;x_{\alpha_s}$ точки $x\in D_n$ фиксированы на значениях $\overset{\circ}{x}_{\alpha_1},\;\overset{\circ}{x}_{\alpha_2},\;\ldots,\;\overset{\circ}{x}_{\alpha_s}$, то будем писать $x=(\overset{\circ}{x}{}^\alpha,\;x^{\bar\alpha})$.

Вариация Xарди функции $f(x)$ на $D_n$:

$H(f,\;D_n)\,\overset{\mathrm{def}}{=}\sup_\alpha\,\sup_{\overset{\circ}{x}{}^\alpha}\tilde H_{n-s}\left(f(\overset{\circ}{x}{}^\alpha,\;x^{\bar\alpha})\right).$

Если $H(f,\;D_n)<\infty$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде $D_n$, а класс всех таких функций обозначается $H(D_n)$.

История

Первоначально класс $H(D_n)$ при $n=2$ был введён Г. Харди^[1] (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье^[2]. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции $f(x_1,\;x_2)$ класса $H(Q_2)$ ($Q_2=[0,\;2\pi]\times[0,\;2\pi]$), имеющей период $2\pi$ по каждой переменной, сходятся в каждой точке $(x_1,\;x_2)$ к числу

$\frac{1}{4}\{f(x_1+0,\;x_2+0)+f(x_1+0,\;x_2-0)+f(x_1+0,\;x_2-0)+f(x_1-0,\;x_2-0)\},$

где

$f(x\pm 0,\;x_2\pm 0)\,\overset{\mathrm{def}}{=}\lim_{\begin{smallmatrix} \varepsilon_1\to+0 \\ \varepsilon_2\to+0 \end{smallmatrix}}f(x_1\pm\varepsilon_1,\;x_2\pm\varepsilon_1).$

Для того чтобы функция $f(x)$ входила в класс $H(D_n)$, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде $f(x)=f_1(x)-f_2(x)$, где $f_1$ и $f_2$ такие конечные на $D_n$ функции, что $\Delta_{h_1h_2\ldots h_n}(f;\;x)\geqslant 0,\;k=2,\;3,\;\ldots,\;n$, при всех $x\in D_n$ и допустимых приращениях $h_1,\;h_2,\;\ldots,\;h_n$. Класс $H(D_n)$ содержится в классе $A(D_n)$ функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на $D_n$.

Литература

• Буланов А. П. Рациональные приближения функций многих переменных с конечной вариацией Харди // Математический сборник. — 1995. — т. 186. — № 11. — с. 53—74.

См. также

• Вариация функции
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Фреше

Примечания

1. ↑ Hardy G. Н. The Quarterly Journal of Mathematics. — 1905. — v. 37. — № 1. — p. 57—79.
2. ↑ Hahn, H. Theorie der reellen Funktionen. — Bd 1. — В.: Springer, 1921.