Коническое сечение

Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола.

Три основных конических сечения

Кони́ческое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.

Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом

$a^2 z^2 = x^2 + y^2$ (в Декартовой системе координат)

Здесь

$a = \operatorname{tg} \theta$

$\theta$ — угол между образующей конуса и его осью.

Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае,

• если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс,
• если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу,
• если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

Уравнение кругового конуса квадратично, стало быть все конические сечения являются квадриками, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику которая не может быть получена как сечение конуса, но всё же обычно считается «вырожденным коническим сечением»).

Эксцентриситет

Эллипс (e=1/2), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом F и директрисой.

Основная статья: Эксцентриситет

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку $F$ и прямую $d$ и зададим вещественное число $e\ge0$. Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки $F$ и до прямой $d$ отличается в $e$ раз, является коническим сечением. Точка $F$ называется фокусом конического сечения, прямая $d$ — директрисой, число $e$ — эксцентриситетом.

$|FM| = e\cdot |MM'|,\ MM' \bot d$

В зависимости от эксцентриситета, получится:

• при $e>1$ — гипербола.
• при $e=1$ — парабола;
• при $e<1$ — эллипс;

Для окружности полагают $e=0$ (хотя формально при $e=0$ , ГМТ получается только точка $F$).

Эксцентриситет связан с параметрами конуса и расположением секущей плоскости относительно оси конуса следующим соотношением^[1]:46,47:

$e=\frac{\sin(90^\circ-\psi)}{\sin(90^\circ-\varphi)}=\frac{\cos\psi}{\cos\varphi},$

здесь $\psi$ — угол наклона секущей плоскости к оси конуса, $\varphi$ — угол между образующей и осью конуса, равный половине угла раствора конуса. Из этой формулы видно, что пересекая данный конус плоскостью можно получить эллипс с любым эксцентриситетом, параболу, а гиперболу можно получить лишь такую, эксцентриситет которой не превышает $\frac{1}{\cos\varphi}$. Это максимальное значение достигается при сечении данного конуса плоскостью, параллельной его оси.

Эллипс (синий) как коническое сечение, разделяющеее шары Данделена; директрисы эллипса (Df1 и Df2), его фокусы (f1 и f2) и эксцентриситет (e)

Шары Данделена

Основная статья: Шары Данделена

Некоторые важные свойства конических сечений получаются при рассмотрении двух шаров, касающихся конического сечения и конуса — шаров Данделена. Например, с их помощью устанавливается геометрический смысл фокуса, директрисы и эксцентриситета конического сечения^[1]:46,47.

Свойства

• Через любые пять точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно провести единственное коническое сечение.

Группы преобразований

• Эксцентриситет двух невырожденных конических сечений совпадает тогда и только тогда, когда они могут быть переведены друг в друга преобразованием подобия.
• Аффинные преобразования сохраняют только знак эксцентриситета, т.е. с точки зрения аффинной геометрии существует только три различных невырожденных конических сечения: эллипс, парабола и гипербола.
• Все невырожденные конические сечения неразличимы в проективной геометрии.

Координатное представление

Декартовы координаты

В декартовых координатах, конические сечения описываются общим квадратным многочленом:

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,$

Иначе говоря, конические сечения являются кривыми второго порядка. Знак дискриминанта

$B^2-4AC,$

определяет тип конического сечения.

• Если дискриминант меньше нуля, то это эллипс, точка или пустое множество.
• Если дискриминант равен нулю, то это парабола, прямая или пара параллельных прямых.
• Если дискриминант больше нуля, то это гипербола или пара пересекающихся прямых

Полярные координаты

В полярных координатах $(\rho,\theta)$, с центром в одном из фокусов нулевым направлением вдоль главной оси, коническое сечение представляется уравнением

$\rho (1 - e \cos \theta) = l \,$

где е обозначает эксцентриситет и l постоянная.

История

Конические сечения были известны ещё математикам Древней Греции. Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 г. до н. э.).

Гравитация

В рамках классической механики траектория свободного движения сферических объектов в безвоздушном пространстве подчиняется одному из приложений закона обратных квадратов — закону всемирного тяготения, и вследствие этого является одной из конических кривых — параболой, гиперболой, эллипсом или прямой. Орбиты планет — эллипсы, траектории комет — гиперболы (см. также Небесная механика), траектория полёта пушечного ядра, за вычетом влияния воздуха — парабола (см. также Баллистика).

См. также

• Коническая константа
• Теорема Паскаля
• Фигуры Лиссажу

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — 288 с.

Литература

• А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• И. Н. Бронштейн, Общие свойства конических сечений, Квант, № 5, 1975.
• Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, глава I.
• Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.
• А. И. Маркушевич Замечательные кривые «Популярные лекции по математике». Выпуск 04
• Шаль, Мишель. Об ангармоническом свойстве точек конического сечения и проч. // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. XV-XVI. М., 1883.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Коническое сечение