Бином ньютона


Бином ньютона

Бином Ньютона — это формула

(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n-1}b + \dots + {n\choose k}a^{n-k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n,

где {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

Содержание

Доказательство

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } a ^ {n-k} b ^ {k}


Докажем это равенство, используя метод математической индукции:

База индукции: n = 1

(a + b)1 = a + b


Шаг индукции:

Пусть утверждение для n верно:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } a ^ {n-k} b ^ {k}

Тогда надо доказать утверждение для n + 1:


(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}

Начнём доказательство:

(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}}\quad + \quad \sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1}

Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0

 \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}} = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k

Извлечём из второй суммы слагаемое при k = n

\sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n - k} b ^ {k+1} = 
b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k}

Теперь сложим преобразованные суммы:

a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1}  b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_{k = 1}^n \left( {n \choose k} + {n \choose {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} b ^ k =
=\sum_{k=0}^0 {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad 
\sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad 
\sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k=
\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}

Что и требовалось доказать

Комментарий:

 {n \choose k} + {n \choose k - 1} = {n + 1 \choose k}  — одно из тождеств биномиальных коэффициентов

Для ненатуральных степеней

(1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}\,

При этом ряд

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+....

сходится при |z|\le 1.

В частности, при z=\frac{1}{m} и \alpha=x\cdot m получается тождество

\left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.

Переходя к пределу при m\to\infty и используя второй замечательный предел \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество

e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,

именно таким образом впервые полученное Эйлером.

История

Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям.

Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

  • В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».

Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский [1].

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Бином ньютона" в других словарях:

  • бином ньютона — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» …   Словарь русского арго

  • БИНОМ НЬЮТОНА — БИНОМ НЬЮТОНА, математическое правило разложения алгебраического выражения (а+b)n в ряд степеней численных значений х и у (где n положительное число). При n 2 разложение выглядит таким образом: (х+у)2=х2+2ху+у2 …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Бином Ньютона — Бином Ньютона  формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид , где   биномиальные коэффициенты,   неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна… …   Википедия

  • Бином Ньютона — алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: (х + а)n = хn + n/1(axn 1) + [n/(n 1)/1.2](а2хn 2) + …[n(n 1)(n 2)…(n m+1)/1.2.3…m](anxn m) + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! =… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Бином Ньютона — Разг. Шутл. О чём л. сложном, запутанном. Елистратов, 41 …   Большой словарь русских поговорок

  • Подумаешь, бином Ньютона! — Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 1940). Слова Коровьева Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на… …   Словарь крылатых слов и выражений

  • бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Ньютона бином — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

  • БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Бином — (лат. bis  дважды, nomen  имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Бином ньютона» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.