Бесконечномерное пространство


Бесконечномерное пространство

Ба́зис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Существуют две основных разновидности определения: базис Га́меля, и базис Ша́удера. Базис Га́меля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре). В функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства, под базисом обычно понимается базис Ша́удера, понятие, основанное на разложении в ряды. В том случае, когда пространство имеет конечный базис (т.е. пространство конечномерно), обе этих разновидности совпадают.

Содержание

Базис Га́меля

Базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), при этом ни один из базисных векторов не представим в виде конечной линейной комбинации остальных (линейная независимость).

Свойства

  • В каждом линейном пространстве существует базис (доказательство этой теоремы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора).
  • Базисами являются максимальные по включению линейно независимые системы векторов, и только они.
  • Базисами являются минимальные по включению полные системы векторов, и только они.
  • Единственная тривиальная (равная нулю) линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.
  • Для любого вектора существует единственное представление в виде конечной линейной комбинации векторов базиса.
  • Мощность базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

Связанные определения

  • Линейное пространство называют конечномерным, если оно имеет конечный базис, и бесконечномерным, если оно не имеет конечного базиса.
  • Представление вектора в виде (конечной) линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису Гамеля.

Примеры

  • Векторы e_1, e_2,\dots,e_n пространства \R^n образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: \det\{e_1, e_2,\dots,e_n\} \neq 0.
  • В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: 1, x, x^2,\dots,x^n,\dots.
  • Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Ша́удера

Система векторов {en} топологического векторного пространства L называется базисом Шаудера (англ. Shauder basis), если каждый элемент f \in L разлагается в единственный, сходящийся к f ряд по {en}:

f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i ,

где fi — числа, называемые коэффициентами разложения вектора f по базису {en}.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд) для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций \{1,\sin(2\pi nx),\cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\} является базисом Шаудера в пространстве L2[0,1]. В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C[a,b]

C[a,b]банахово пространство с нормой \|f\| = \max_{x \in [a,b]}|f(x)|. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве L2[a,b], но не в C[a,b]. Шаудер сконструировал базис Шаудера {en} для C[a,b]. Пусть \{x_0, x_1,\dots,x_n,\dots\} — плотное счетное множество точек на [a,b], x0 = a, x1 = b, остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка [a,b], упорядоченными произвольным образом. Положим: e0 = 1, e1 = (xa) / (ba) — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию en(x) так, чтобы en(xi) = 0 при i=0,1,\dots,n-1 и en(xn) = 1. Точки x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n-1} разбивают [a,b] на n − 1 отрезок. Точка xn лежит строго внутри одного из них. Пусть это In = [xj,xk] для каких-то j, k \in \{0,\dots,n-1\} (порядок нумерации чисел x_0, x_1, x_2,\dots не соответствует их величине).

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение L5(x). Красным цветом на графике выделен участок, на котором L5 отличается от L4 (синяя ломаная).

Положим:

en(x) = 0 вне отрезка In = [xj,xk],
e_n(x)=\frac{x-x_j}{x_n-x_j} при x \in [x_j,x_n],
e_n(x)=\frac{x_k-x}{x_k-x_n} при x \in [x_n,x_k].

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции f(x) \in C[a,b] по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений f(xi). Частичная сумма первых n + 1 членов ряда

L_n(x)= \sum_{i=0}^{n} f_i e_i(x) ,

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией f(x) с узлами в точках x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n}; формула для коэффициентов f_n =f(x_n)-L_{n-1}(x_n); \; \; f_0=f(a) (см. Рис.)

Проблема базиса

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Бесконечномерное пространство" в других словарях:

  • БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — нормальное T1 пространство X(см. Нормальное пространство).такое, что ни для какого не выполняется неравенство и для любого найдется такое конечное открытое покрытие пространства , что любое вписанное в конечное открытое покрытие этого… …   Математическая энциклопедия

  • Бесконечномерное пространство — пространство, содержащее бесчисленное множество линейно независимых элементов. Например, в квантовой механике пространство Гильберта (гильбертово пространство), выражающее бесконечное число квантовых состояний (волновую функцию) системы… …   Начала современного естествознания

  • СЛАБО БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство X, для любой бесконечной системы пар множеств к рого найдутся перегородки С i (между Ai и В i).такие, что . Пространство, не являющееся слабо бесконечномерным, наз. сильно бесконечномерным. С. б. п. наз. также А с… …   Математическая энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ — G пространство, пара объектов (E, G), из к рых первый есть векторное пространство Енад полем комплексных чисел, а второй есть билинейная (точнее, полуторалинейная) форма Gнад Е;эта форма наз. также G метрикой. Если G положительно определенная (т …   Математическая энциклопедия

  • БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — группы Ли представление группы Ли в бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений групп Ли есть часть общей теории, представлений то пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет использовать в этой теории средства анализа (в… …   Математическая энциклопедия

  • Касательное пространство — и касательный вектор …   Википедия

  • многомерное векторное пространство — n мерное векторное пространство Пространство, имеющее n измерений (размерностью n). Обычно этот термин применяется к пространству размерностью более трех. При n = ? имеем бесконечномерное пространство. Простейшее векторное пространство называется …   Справочник технического переводчика

  • Многомерное (n-мерное) векторное пространство — Многомерное(n мерное)векторное пространство [multi­di­mensional, vector space] пространство, имеющее n измерений (размерностью n). Обычно этот термин применяется к пространству размерностью более трех. При n = ¥ имеем бесконечномерное… …   Экономико-математический словарь

  • БАНАХОВО АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — бесконечномерное обобщение понятия аналитнч. пространства, возникшее в связи с изучением деформаций аналитических структур. Локальной моделью здесь служит банахово аналитическое множество, т. е. подмножество открытого множества Uв банаховом… …   Математическая энциклопедия

  • БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО — В пространство, полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили введенные (в 1904 18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.