Теорема Больцано — Коши


Теорема Больцано — Коши

Теорема Больцано — Коши

Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Содержание

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке f\in C\bigl([a,b]\bigr). Пусть также f(a) \neq f(b), и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого C \in [A,B] существует c\in [a,b] такое, что f(c) = C.

Следствия

  • (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть f\in C\bigl([a,b]\bigr), и f(a),f(b) < 0. Тогда \exists c \in [a,b] такое, что f(c) = 0.
  • В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;

Замечание

  • Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.

Обобщение

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция f\colon X\to\R, определенная на линейно связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Более точно пусть дано связное топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и функция f\in C(X). Пусть x_1,x_2\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2, и y1 < y2. Тогда

\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.

В частности, непрерывный образ линейно связного множества линейно связен.

История

Теорема Больцано — Коши была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. также

Примечания

Литература

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теорема Больцано — Коши" в других словарях:

  • Теорема Больцано — Вейерштрасса — Теорема Больцано Вейерштрасса, или лемма Больцано Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Больцано — Теорема Больцано  Вейерштрасса, или лемма Больцано  Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Больцано—Коши — …   Википедия

  • Коши, Огюстен — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши О. — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши О. Л. — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши Огюстен Луи — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши барон — Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ …   Википедия

  • Коши, Огюстен Луи — Огюстен Луи Коши Augustin Louis Cauchy …   Википедия

  • Теорема Коши — Теоремой Коши называются следующие утверждения: Интегральная теорема Коши Теорема Коши о многогранниках Теорема Коши о среднем значении Теорема Коши (теория групп) См. также Признак Коши Теорема Больцано Коши Условия Коши Римана …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.